比例尺、图形的放大与缩小

考点六年级

🧭 知识小背景

比例尺是‘图上距离和实际距离的比’，告诉你地图缩小了多少倍。1:100000 表示图上 1 厘米代表实际 1 千米。图形放大或缩小，是各边按相同的比一起变，形状不变、只变大小。

📖 精讲

最易错在单位换算：实际距离常用千米，图上用厘米，1 千米=100000 厘米，别漏换。比例尺=图上距离÷实际距离，注意把前项化成 1。放大缩小后，对应边成比例、对应角不变。

🧩 典型例题3 道

例1

在一幅比例尺是 $1 : 500000$ 的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是 $4$ 厘米。甲、乙两地的实际距离是多少千米？

💭 解题思路

比例尺是图上距离与实际距离的比，实际距离＝图上距离÷比例尺，最后要把厘米换成千米。

✍️ 解答过程

① 实际距离 $= 4 \div \frac{1}{500000} = 4 \times 500000 = 2000000$ （厘米）

② $2000000$ 厘米 $= 2000000 \div 100000 = 20$ （千米）

③ 答：甲、乙两地的实际距离是 $20$ 千米。

💡

比例尺不带单位，算完必须换算单位， $1$ 千米 $= 100000$ 厘米，别漏。

例2

一个长方形长 $3$ 厘米、宽 $2$ 厘米，按 $3 : 1$ 放大。放大后长方形的长和宽各是多少？放大后与原来的面积比是多少？

💭 解题思路

图形放大时各边按相同的比一起变，放大后的边长＝原边长×3；面积比等于对应边长比的平方。

✍️ 解答过程

① 放大后的长 $= 3 \times 3 = 9$ （厘米）

② 放大后的宽 $= 2 \times 3 = 6$ （厘米）

③ 原面积 $= 3 \times 2 = 6$ （平方厘米），放大后面积 $= 9 \times 6 = 54$ （平方厘米），面积比 $= 54 : 6 = 9 : 1$

④ 答：放大后长 $9$ 厘米、宽 $6$ 厘米，面积比是 $9 : 1$ 。

💡

边长按 $3 : 1$ 放大，面积却按 $3^{2} : 1^{2} = 9 : 1$ 变化，形状不变、大小变。

例3

北京到天津的实际距离约是 $120$ 千米。要画在一幅地图上，图上距离是 $6$ 厘米，求这幅地图的比例尺；如果另一幅地图的比例尺是 $1 : 4000000$ ，那么这两地在这幅图上的距离是多少厘米？

💭 解题思路

比例尺＝图上距离:实际距离，先把实际距离统一成厘米再求比；第二问用实际距离×比例尺求图上距离。

✍️ 解答过程

① $120$ 千米 $= 120 \times 100000 = 12000000$ （厘米）

② 这幅地图的比例尺 $= 6 : 12000000 = 1 : 2000000$

③ 另一幅：图上距离 $= 12000000 \times \frac{1}{4000000} = 3$ （厘米）

④ 答：第一幅比例尺为 $1 : 2000000$ ，另一幅上两地图上距离是 $3$ 厘米。

💡

求比例尺时前、后项必须化成相同单位，并写成前项为 $1$ 的形式。

看杭州地铁线路图，用比例尺算两站之间的实际距离；把照片等比放大打印，人不会被拉胖拉瘦。

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