圆柱与圆锥 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

打开家里的储物柜：可乐易拉罐、龙井茶叶筒、卷纸筒——它们都是圆柱；公园沙坑边堆起的沙堆、甜筒冰淇淋的下半部分——它们都是圆锥。

六年级上册我们学了圆的周长和面积，现在把圆"立起来"：圆柱和圆锥是小学阶段最后学的立体图形，它们的表面积和体积计算是小升初的重头戏。

知识讲解

圆柱的特征

两个底面：完全相同的两个圆。
一个侧面：曲面，沿高剪开展开是一个长方形（长 = 底面周长，宽 = 高）。
无数条高，所有高都相等。

圆柱的侧面积与表面积

$S_{\text{侧}} = C \times h = 2\pi r h$

$S_{\text{表}} = S_{\text{侧}} + 2 \times S_{\text{底}} = 2\pi rh + 2\pi r^2$

🔑

侧面展开是长方形：长是底面周长，宽是高。表面积 = 侧面积 + 两个底面圆。

圆柱的体积

$V_{\text{柱}} = S_{\text{底}} \times h = \pi r^2 h$

（与长方体、正方体一样：底面积 × 高。）

圆锥的特征与体积

圆锥有一个圆形底面、一个曲面侧面、一个顶点，只有一条高（顶点到底面圆心的距离）。

$V_{\text{锥}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

🔑

等底等高时，圆锥体积是圆柱的 $\frac{1}{3}$ ；圆锥体积公式里的 $\frac{1}{3}$ 千万不能丢！

经典例题

例圆柱表面积

一个圆柱形茶叶筒，底面半径 4 厘米，高 15 厘米。做这个茶叶筒（含盖）至少需要多少平方厘米的铁皮？（π 取 3.14）

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侧面积： $S_{\text{侧}} = 2\pi rh = 2 \times 3.14 \times 4 \times 15 = 376.8$ （平方厘米）。
一个底面积： $\pi r^2 = 3.14 \times 4^2 = 3.14 \times 16 = 50.24$ （平方厘米）。
表面积 = 侧面积 + 2 个底面： $376.8 + 50.24 \times 2 = 376.8 + 100.48 = 477.28$ （平方厘米）。
答：至少需要 477.28 平方厘米的铁皮。

例圆柱体积

一个圆柱形水杯，从里面量底面直径 8 厘米，高 12 厘米。这个水杯能装多少毫升水？（π 取 3.14）

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先求底面半径： $8 \div 2 = 4$ （厘米）。
底面积： $\pi r^2 = 3.14 \times 16 = 50.24$ （平方厘米）。
体积： $V = S_{\text{底}} \times h = 50.24 \times 12 = 602.88$ （立方厘米）。
1 立方厘米 = 1 毫升，答：能装 602.88 毫升水。

例圆锥体积

一个圆锥形沙堆，底面半径 2 米，高 1.5 米。这堆沙的体积是多少立方米？（π 取 3.14）

✏️ 点击查看解答

底面积： $\pi r^2 = 3.14 \times 2^2 = 12.56$ （平方米）。
圆锥体积 = $\frac{1}{3}$ × 底面积 × 高： $V = \frac{1}{3} \times 12.56 \times 1.5$ 。
先算 $12.56 \times 1.5 = 18.84$ ，再除以 3： $18.84 \div 3 = 6.28$ （立方米）。
答：这堆沙的体积是 6.28 立方米。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

圆锥体积丢 $\frac{1}{3}$ ：最高频错误！"等底等高圆锥是圆柱的三分之一"必须刻在脑子里。
直径当半径：题目给直径 8 厘米，先除以 2 得半径 4 厘米，再代入公式。
表面积算几个面要看实物：无盖水桶只加 1 个底面，通风管（两头通）只算侧面积。
单位换算：1 立方米 = 1000 升，1 立方厘米 = 1 毫升；体积单位换算率是 1000 不是 100。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 龙井茶叶罐

外婆想给一个底面直径 10 厘米、高 12 厘米的圆柱形茶叶罐贴一圈标签纸（只贴侧面）。标签纸至少要多少平方厘米？（π 取 3.14）

分步解：

半径 $10 \div 2 = 5$ （厘米）。
侧面积 = 底面周长 × 高： $2 \times 3.14 \times 5 \times 12$ 。
计算： $2 \times 3.14 \times 5 = 31.4$ ， $31.4 \times 12 = 376.8$ （平方厘米）。
答：标签纸至少要 376.8 平方厘米。

生活应用题 2 · 亚运场馆门口的沙堆

施工队在场馆门口堆了一个圆锥形黄沙堆，底面周长 12.56 米，高 1.2 米。这堆黄沙约多少立方米？（π 取 3.14）

分步解：

先由周长求半径： $C = 2\pi r$ ， $r = 12.56 \div 3.14 \div 2 = 2$ （米）。
底面积： $3.14 \times 2^2 = 12.56$ （平方米）。
体积： $\frac{1}{3} \times 12.56 \times 1.2 = 12.56 \times 0.4 = 5.024$ （立方米）。
答：这堆黄沙约 5.024 立方米。

生活应用题 3 · 藕粉罐装

一罐西湖藕粉的圆柱形包装罐，底面半径 5 厘米、高 18 厘米，装满后倒入底面半径 6 厘米的圆柱形玻璃罐中，能装多高？（π 取 3.14，结果保留一位小数）

分步解：

藕粉体积： $3.14 \times 5^2 \times 18 = 3.14 \times 25 \times 18 = 1413$ （立方厘米）。
玻璃罐底面积： $3.14 \times 6^2 = 113.04$ （平方厘米）。
高度 = 体积 ÷ 底面积： $1413 \div 113.04 = 12.5$ （厘米）。
答：能装约 12.5 厘米高。（体积不变是"倒来倒去"问题的关键！）

考点

🎯考点提示

圆柱侧面积、表面积计算（注意有盖无盖、通风管等变式）
圆柱体积 = 底面积 × 高（必考）
圆锥体积 = $\frac{1}{3}$ × 底面积 × 高（ $\frac{1}{3}$ 是判断题、计算题双料考点）
等底等高圆柱与圆锥的体积关系（差 2 倍、和是 4 倍等变式）
"倒来倒去"等体积变形问题（小升初压轴常客）

视频讲解

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