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🔢 小学数学五年级下图形与统计长方体正方体表面积体积

长方体和正方体（表面积、体积）

从平面走进立体！长方体和正方体有 6 个面、12 条棱、8 个顶点，表面积算的是外表 6 个面的总面积，体积算的是占据空间的大小，两者单位不同、方法不同，千万别混淆。

难度：★★★★★

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

快递纸箱、牛奶盒、魔方、教室……我们身边到处都是长方体和正方体。给纸箱刷漆要算多少面积？往鱼缸里注水要算多少体积？这些都离不开本单元的知识。

这一单元我们先认识长方体、正方体的特征（面、棱、顶点），再学习表面积和体积（容积）的计算，并掌握体积单位之间的进率：1 m3=1000 dm31 \text{ m}^3 = 1000 \text{ dm}^3，1 dm3=1000 cm31 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3，11 升 =1= 1 立方分米。

这是小学阶段第一次系统研究立体图形，空间观念的培养从这里正式起步，也是考试中的重点和难点。

知识讲解

长方体和正方体的特征

长方体：6 个面（相对的面完全相同），12 条棱（相对的 4 条棱长度相等，分为长、宽、高三组），8 个顶点。

正方体：6 个面都是完全相同的正方形，12 条棱长度都相等，是特殊的长方体。

棱长总和公式：

长方体棱长和=(长+宽+高)×4正方体棱长和=棱长×12\text{长方体棱长和} = (\text{长} + \text{宽} + \text{高}) \times 4 \qquad \text{正方体棱长和} = \text{棱长} \times 12

🔑

记住"6 面、12 棱、8 顶点"。正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。

表面积

表面积是 6 个面的总面积。设长方体的长为 aa、宽为 bb、高为 hh：

S=(ab+ah+bh)×2S = (ab + ah + bh) \times 2

正方体棱长为 aa：

S=6a2S = 6a^2

🔑

求表面积先想清楚"要算几个面"：无盖鱼缸只算 5 个面，粉刷教室不算地面和门窗，通风管只算 4 个侧面。实际问题必须结合情境取面。

体积与体积单位

物体所占空间的大小叫体积。常用体积单位：立方厘米（cm3\text{cm}^3）、立方分米（dm3\text{dm}^3）、立方米（m3\text{m}^3），相邻单位间进率是 1000。

V长方体=abh=底面积×高V正方体=a3V_{\text{长方体}} = abh = \text{底面积} \times \text{高} \qquad V_{\text{正方体}} = a^3

🔑

长度单位进率 10，面积单位进率 100，体积单位进率 1000。换算时数一数：高级化低级乘进率，低级化高级除以进率。

容积与容积单位

容器所能容纳物体的体积叫容积，常用单位升（L）和毫升（mL）：

1 L=1 dm31 mL=1 cm31 L=1000 mL1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 \qquad 1 \text{ mL} = 1 \text{ cm}^3 \qquad 1 \text{ L} = 1000 \text{ mL}

容积的计算方法与体积相同，但要从容器里面量长、宽、高。

经典例题

例 求表面积

一个长方体礼盒，长 8 厘米、宽 5 厘米、高 4 厘米，做这个礼盒至少需要多少平方厘米的纸板？（接缝忽略不计）

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  1. 求的是 6 个面的总面积，即表面积。
  2. 三组面的面积：8×5=408 \times 5 = 40，8×4=328 \times 4 = 32，5×4=205 \times 4 = 20（平方厘米）。
  3. 表面积：(40+32+20)×2=92×2=184(40 + 32 + 20) \times 2 = 92 \times 2 = 184（平方厘米）。
  4. 答：至少需要 184 平方厘米的纸板。
例 求体积与单位换算

一个正方体水箱，棱长 6 分米，它的体积是多少立方分米？合多少升？

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  1. 体积：V=6×6×6=216V = 6 \times 6 \times 6 = 216（立方分米）。
  2. 因为 11 立方分米 =1= 1 升，所以 216 立方分米 =216= 216 升。
  3. 答：体积是 216 立方分米，合 216 升。
例 不规则物体的体积

一个长方体玻璃缸，底面长 5 分米、宽 4 分米，水深 2 分米。放入一块假山石（完全浸没）后，水面升到 2.5 分米。假山石的体积是多少？

✏️ 点击查看解答
  1. 石头浸没后，水面上升的部分就是石头的体积（排水法）。
  2. 水面上升：2.5−2=0.52.5 - 2 = 0.5（分米）。
  3. 石头体积：5×4×0.5=105 \times 4 \times 0.5 = 10（立方分米）。
  4. 答：假山石的体积是 10 立方分米。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点
  1. 表面积和体积混淆：表面积算"外表的面"，用面积单位；体积算"占的空间"，用体积单位，公式和单位都不能张冠李戴。
  2. 实际问题不看要算几个面：无盖、粉刷、通风管等情境下不是 6 个面，先判断再计算。
  3. 体积单位换算用错进率：体积进率是 1000，不是 10 或 100，如 2.5 m3=2500 dm32.5 \text{ m}^3 = 2500 \text{ dm}^3。
  4. 容积从外面量尺寸：容积要量容器内部的长、宽、高，所以容积一般比体积小。
  5. 棱长和、表面积、体积公式记混：棱长和是"长度"，乘 4 或乘 12；表面积乘 2 或乘 6；体积三条棱相乘。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 龙井茶叶罐包装

一个长方体茶叶礼盒，长 20 厘米、宽 15 厘米、高 10 厘米。在礼盒四周和上下都贴一层包装纸，至少需要多少平方厘米包装纸？

分步解：

  1. 六个面都贴，求表面积。
  2. S=(20×15+20×10+15×10)×2=(300+200+150)×2=1300S = (20 \times 15 + 20 \times 10 + 15 \times 10) \times 2 = (300 + 200 + 150) \times 2 = 1300（平方厘米）。
  3. 答：至少需要 1300 平方厘米包装纸。

生活应用题 2 · 西溪湿地生态鱼缸

科学教室的长方体鱼缸从里面量长 8 分米、宽 4 分米、高 5 分米，注水到高度的 45\frac{4}{5} 处，注入了多少升水？

分步解：

  1. 水深：5×45=45 \times \frac{4}{5} = 4（分米）。
  2. 水的体积：8×4×4=1288 \times 4 \times 4 = 128（立方分米）。
  3. 128128 立方分米 =128= 128 升。答：注入了 128 升水。

生活应用题 3 · 地铁站方形立柱刷漆

地铁站内一根长方体立柱，底面是边长 0.5 米的正方形，高 3 米。给它的 4 个侧面刷漆，刷漆面积是多少平方米？

分步解：

  1. 立柱只刷 4 个侧面，上下两个面不刷。
  2. 每个侧面面积：0.5×3=1.50.5 \times 3 = 1.5（平方米）。
  3. 刷漆面积：1.5×4=61.5 \times 4 = 6（平方米）。答：刷漆面积是 6 平方米。

考点

🎯考点提示
  • 长方体、正方体的特征（面、棱、顶点）与棱长总和
  • 表面积公式及"取面"型实际问题（无盖、粉刷、通风管）
  • 体积（容积）公式：V=abhV = abh、V=a3V = a^3、底面积乘高
  • 体积单位、容积单位及换算（进率 1000，11 L =1= 1 dm³）
  • 排水法求不规则物体的体积

视频讲解

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