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🔢 小学数学五年级下数与运算因数倍数质数合数

因数与倍数（质数、合数）

数也有"朋友圈"！因数和倍数描述了整数之间的整除关系，2、3、5 的倍数各有特征，质数和合数则按因数的个数给数分类，它们是学习分数约分、通分的重要基础。

难度：★★★★★

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

12 个同学排队做操，可以排成 1 排、2 排、3 排、4 排、6 排或 12 排，每排人数都正好相等——这背后藏着的就是"因数"的秘密。

因数与倍数研究的是整数之间的整除关系：谁能被谁正好分完、谁是谁的几倍。在此基础上，我们还要认识 2、5、3 的倍数特征，学会判断奇数、偶数，并按因数的个数把数分成质数与合数。

这一单元是"数论"的启蒙，也是后面学习分数约分、通分、求最大公因数和最小公倍数的地基，一定要把概念理解透彻。

知识讲解

因数与倍数的意义

如果整数 aa 除以整数 bb（b≠0b \neq 0），商是整数且没有余数，我们就说 bb 是 aa 的因数，aa 是 bb 的倍数。例如：

12÷3=412 \div 3 = 4

所以 3 和 4 都是 12 的因数，12 是 3 的倍数，也是 4 的倍数。

🔑

因数和倍数是相互依存的，不能单独说"3 是因数""12 是倍数"，必须说清"谁是谁的因数、谁是谁的倍数"。为了方便，本单元研究的数一般指非零自然数。

找因数和找倍数

  • 找 18 的因数：一对一对地找，1×181 \times 18、2×92 \times 9、3×63 \times 6，所以 18 的因数有 1、2、3、6、9、18，共 6 个。
  • 找 5 的倍数：依次乘 1、2、3……得到 5、10、15、20……
🔑

一个数最小的因数是 1，最大的因数是它本身，因数的个数是有限的；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，倍数的个数是无限的。

2、5、3 的倍数特征

  • 2 的倍数：个位是 0、2、4、6、8。是 2 的倍数的数叫偶数，不是 2 的倍数的数叫奇数。
  • 5 的倍数：个位是 0 或 5。
  • 3 的倍数：各个数位上的数字之和是 3 的倍数。例如 234，2+3+4=92+3+4=9，9 是 3 的倍数，所以 234 是 3 的倍数。
🔑

判断 2、5 的倍数只看个位，判断 3 的倍数要把各位数字加起来看；个位是 0 的数，既是 2 的倍数又是 5 的倍数。

质数与合数

按因数的个数分类：

  • 质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数，如 2、3、5、7、11、13……
  • 合数：除了 1 和它本身还有别的因数，如 4、6、8、9、10……
  • 1 既不是质数，也不是合数，因为它只有 1 个因数。
🔑

最小的质数是 2，它也是唯一的偶质数；最小的合数是 4。要熟记 20 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19。

经典例题

例 找出一个数的全部因数

写出 24 的所有因数，并说出其中的质数。

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  1. 一对一对找：1×241 \times 24、2×122 \times 12、3×83 \times 8、4×64 \times 6。
  2. 所以 24 的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24，共 8 个。
  3. 其中只有 1 和本身两个因数的是 2 和 3，所以质数是 2 和 3。
例 3 的倍数特征

在 □ 里填一个数字，使四位数 47□2 是 3 的倍数。□ 可以填哪些数字？

✏️ 点击查看解答
  1. 3 的倍数特征：各位数字之和是 3 的倍数。
  2. 已知数字之和：4+7+2=134 + 7 + 2 = 13。
  3. 设 □ 填 aa，则 13+a13 + a 要是 3 的倍数，aa 可取 2、5、8。
  4. 检验：13+2=1513+2=15、13+5=1813+5=18、13+8=2113+8=21，都是 3 的倍数。
  5. 答：□ 可以填 2、5 或 8。
例 质数与合数的判断

判断：91 是质数还是合数？

✏️ 点击查看解答
  1. 91 的个位是 1，不是 2、5 的倍数；9+1=109+1=10，也不是 3 的倍数。
  2. 再试 7：91÷7=1391 \div 7 = 13，正好除尽。
  3. 说明 91 除了 1 和 91，还有因数 7 和 13。
  4. 答：91 是合数。像 91 这样"长得像质数"的数要动笔验算，不能凭感觉。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点
  1. 单独说因数、倍数：必须说"3 是 12 的因数"，不能孤立地说"3 是因数"。
  2. 认为 1 是质数：1 只有一个因数，既不是质数也不是合数。
  3. 把奇数与质数混淆：9 是奇数但不是质数；2 是偶数却是质数。
  4. 找因数漏找：要一对一对有序地找，找到两个因数很接近时就不会遗漏。
  5. 判断 3 的倍数只看个位：3 的倍数要看各位数字之和，个位是 3 的数不一定是 3 的倍数，如 13。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 西湖游船分组

学校组织 36 名同学去西湖坐游船，要求每条船坐的人数相同且正好坐满，每条船可以坐几人？有几种坐法？

分步解：

  1. 每船人数必须是 36 的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36。
  2. 一共有 9 个因数，所以有 9 种坐法（实际中再结合每船限载人数选择）。

生活应用题 2 · 地铁发车时间

杭州地铁某站，1 号线每 6 分钟发一班，早上 8:00 发车后，接下来发车的时刻都是 6 的倍数分钟之后。8:00 到 8:30 之间（不含 8:00）该线发几班车？

分步解：

  1. 30 以内 6 的倍数有：6、12、18、24、30。
  2. 对应时刻 8:06、8:12、8:18、8:24、8:30，共 5 班。

生活应用题 3 · 龙井茶礼盒

茶农把 51 罐龙井茶装礼盒，每盒装的罐数相同且大于 1、小于 51，正好装完。每盒可以装几罐？

分步解：

  1. 找 51 的因数：51=3×1751 = 3 \times 17，因数有 1、3、17、51。
  2. 去掉 1 和 51，每盒可以装 3 罐或 17 罐。
  3. 顺便发现：51 有 4 个因数，是合数。

考点

🎯考点提示
  • 因数、倍数的意义及相互依存关系
  • 找一个数的因数（有限个）和倍数（无限个）
  • 2、5、3 的倍数特征，奇数与偶数的判断
  • 质数、合数的概念，1 的特殊性，20 以内质数
  • 运用倍数特征解决填数字、分组等实际问题

视频讲解

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