知识背景
💡知识背景 · 从一个真实的问题说起
在 100 米的小路一旁栽树，每隔 5 米栽一棵，很多同学脱口而出" 棵"。可要是两端都栽，答案其实是 21 棵——多出来的 1 棵去哪儿找？
秘密就在"间隔"里：栽树栽出的是一个个间隔，棵数和间隔数并不总是相等的。
这一讲，我们研究植树问题的四种情况，抓住"棵数与间隔数"的关系。学会了它，锯木头、上楼梯、敲钟、安路灯这些问题都能一网打尽。
知识讲解
两端都栽
在线段上植树，两端都栽时，棵数比间隔数多 1：
例如 100 米、每 5 米一棵：间隔数 ，棵数 。
🔑
两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1。可以画一段短的线段图验证："两个端点都有树，树总比空多一棵。"
只栽一端与两端都不栽
- 只栽一端（如一端靠墙）：棵数 = 间隔数。
- 两端都不栽（如两头都是建筑物）：棵数 = 间隔数 − 1。
🔑
三种线上植树模型对比：两端都栽多 1，只栽一端相等，两端不栽少 1。做题先判断属于哪一种。
封闭线路上植树
绕圆形水池、操场跑道一圈植树，首尾相接，相当于"只栽一端"：
🔑
封闭图形上植树：棵数 = 间隔数，没有"多 1"或"少 1"的问题。
植树问题的变式
许多问题本质上都是植树问题：
- 锯木头：锯的次数 = 段数 − 1（类似"两端不栽"）。
- 敲钟：敲 6 下之间有 5 个间隔。
- 上楼梯：从 1 楼到 5 楼走了 层楼梯。
经典例题
例 两端都栽
在 120 米长的跑道一侧栽树，每隔 6 米栽一棵，两端都栽，一共要栽多少棵？
✏️ 点击查看解答
- 间隔数：（个）。
- 两端都栽，棵数比间隔数多 1：（棵）。
- 答：一共要栽 21 棵树。
例 两端都不栽
两栋教学楼相距 60 米，在楼间小路一旁栽树，每隔 5 米栽一棵，两端都不栽，能栽多少棵？
✏️ 点击查看解答
- 间隔数：（个）。
- 两端都不栽，棵数比间隔数少 1：（棵）。
- 答：能栽 11 棵树。
例 封闭线路
一个圆形水池的周长是 90 米，沿池边每隔 6 米安一盏景观灯，一共要安多少盏？
✏️ 点击查看解答
- 封闭线路：棵数 = 间隔数。
- 间隔数：（个）。
- 所以要安 15 盏灯。
- 答：一共要安 15 盏景观灯。
难点与易错点
⚠️难点 · 易错点
- 不判断类型就套公式：先弄清是两端都栽、只栽一端、两端不栽还是封闭线路，再决定加 1、减 1 还是不加不减。
- 把间隔数当棵数： 算出的是间隔数，不一定是棵数。
- "两旁"忘记乘 2：路的两旁都栽树时，先算一旁的棵数，再乘 2。
- 锯木头次数与段数混淆：锯成 n 段只需锯 次；时间要按"次数"算。
- 敲钟问题按下数算时间：钟敲 6 下用 10 秒，是 5 个间隔用 10 秒，每个间隔 2 秒。
生活中的应用
🌏生活中的应用
生活应用题 1 · 苏堤栽桃树
苏堤上一段 200 米的步道一侧补栽桃树，每隔 8 米栽一棵，两端都栽，需要多少棵树苗？
分步解：
- 间隔数：（个）。
- 两端都栽：（棵）。
- 答：需要 26 棵桃树苗。
生活应用题 2 · 地铁站台安广告牌
杭州某地铁站台一面墙长 72 米，两端是出入口不能安装，中间每隔 9 米安一块广告牌，能安多少块？
分步解：
- 间隔数：（个）。
- 两端都不安：（块）。
- 答：能安 7 块广告牌。
生活应用题 3 · 西溪湿地环岛布灯
西溪湿地一个小岛沿岸是封闭的一圈，周长 150 米，每隔 10 米装一盏太阳能灯，要装多少盏？
分步解：
- 封闭线路：盏数 = 间隔数。
- 间隔数：（个）。
- 答：要装 15 盏太阳能灯。
考点
🎯考点提示
- 两端都栽：棵数 = 间隔数 + 1
- 只栽一端：棵数 = 间隔数
- 两端都不栽：棵数 = 间隔数 − 1
- 封闭线路植树：棵数 = 间隔数
- 变式应用：锯木头、敲钟、上楼梯、安路灯、路两旁植树
- 画线段图分析、建立植树问题模型的思想方法