多边形的面积（平行四边形、三角形、梯形）

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

我们已经会算长方形和正方形的面积，可是花坛常常是平行四边形，路牌是三角形，水渠的横截面是梯形，它们的面积怎么算？

数学家的妙招是转化：把没学过的图形剪一剪、拼一拼，变成学过的图形，公式就自己"跑"出来了。

这一讲，我们要推导并熟练运用平行四边形、三角形、梯形的面积公式，理解每个公式背后的道理，特别是三角形和梯形公式里"除以 2"的来历。

知识讲解

平行四边形的面积

沿平行四边形的高剪下一个三角形，平移到另一边，正好拼成一个长方形：长方形的长就是平行四边形的底，宽就是高。

$S = a \times h$

其中 a 是底，h 是这条底对应的高。

🔑

平行四边形面积 = 底 × 高。底和高必须对应：选了哪条底，就用垂直于这条底的高。

三角形的面积

两个完全相同的三角形可以拼成一个平行四边形，所以一个三角形的面积是这个平行四边形的一半：

$S = a \times h \div 2$

🔑

三角形面积 = 底 × 高 ÷ 2。"÷2"是因为两个完全一样的三角形才拼成一个平行四边形，千万别漏掉。

梯形的面积

两个完全相同的梯形也能拼成一个平行四边形：拼成的平行四边形的底是（上底 + 下底），高不变。

$S = (a + b) \times h \div 2$

其中 a 是上底，b 是下底，h 是高。

🔑

梯形面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2。计算时先算括号里的和，最后别忘了除以 2。

公式的逆用

已知面积反求底或高，可以用方程。例如三角形面积 24 平方厘米、底 8 厘米，设高为 h： $8h \div 2 = 24$ ，解得 $h = 6$ （厘米）。

经典例题

例平行四边形的面积

一块平行四边形菜地，底是 12 米，高是 7.5 米，它的面积是多少平方米？

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公式： $S = a \times h$ 。
代入： $S = 12 \times 7.5 = 90$ （平方米）。
答：这块菜地的面积是 90 平方米。

例三角形的面积

一块三角形交通标志牌，底是 0.9 米，高是 0.8 米，它的面积是多少平方米？

✏️ 点击查看解答

公式： $S = a \times h \div 2$ 。
代入： $S = 0.9 \times 0.8 \div 2$ 。
计算： $0.9 \times 0.8 = 0.72$ ， $0.72 \div 2 = 0.36$ （平方米）。
答：标志牌的面积是 0.36 平方米。

例梯形面积与逆用

一条水渠的横截面是梯形，上口宽 2.8 米，渠底宽 1.2 米，渠深 1.5 米，求横截面面积；若另一个梯形面积为 30 平方米，上底 4 米、下底 8 米，高是多少米？

✏️ 点击查看解答

第一问： $S = (2.8 + 1.2) \times 1.5 \div 2 = 4 \times 1.5 \div 2 = 3$ （平方米）。
第二问：设高为 h 米，列方程 $(4 + 8) \times h \div 2 = 30$ 。
化简： $12h \div 2 = 30$ ，即 $6h = 30$ ，解得 $h = 5$ 。
答：横截面面积是 3 平方米；另一个梯形的高是 5 米。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

底和高不对应：平行四边形有两组底和高，必须用互相垂直的一组相乘。
三角形、梯形忘记除以 2：这是最常见的错误，写完公式先检查有没有"÷2"。
梯形忘记加括号：必须先算（上底 + 下底），再乘高，最后除以 2。
单位不统一：底是米、高是分米时，要先化成相同单位再计算。
误以为周长相等面积就相等：把长方形框架拉成平行四边形，周长不变，但高变小了，面积变小。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 西湖边的花坛

湖滨路旁一个平行四边形花坛，底 6.5 米，高 4 米。每平方米种 9 株郁金香，一共要种多少株？

分步解：

面积： $6.5 \times 4 = 26$ （平方米）。
株数： $26 \times 9 = 234$ （株）。
答：一共要种 234 株郁金香。

生活应用题 2 · 西溪湿地的三角形绿地

西溪湿地公园里有一块三角形绿地，底 24 米，高 15 米，这块绿地的面积是多少平方米？

分步解：

公式： $S = a \times h \div 2$ 。
计算： $24 \times 15 \div 2 = 360 \div 2 = 180$ （平方米）。
答：绿地面积是 180 平方米。

生活应用题 3 · 梯形茶园

龙井村一块梯形茶园，上底 30 米，下底 50 米，高 20 米。这块茶园的面积是多少平方米？合多少公顷？

分步解：

面积： $(30 + 50) \times 20 \div 2 = 80 \times 20 \div 2 = 800$ （平方米）。
换算：1 公顷 = 10000 平方米， $800 \div 10000 = 0.08$ （公顷）。
答：茶园面积是 800 平方米，合 0.08 公顷。

考点

🎯考点提示

用转化思想推导平行四边形、三角形、梯形面积公式
三个面积公式的正用（求面积）
公式的逆用（已知面积求底或高，可列方程）
底与高的对应关系、单位统一
等底等高的三角形面积相等；组合图形面积的分割计算

视频讲解

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