运算定律 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

$88 \times 125$ 怎么算最快？硬列竖式当然可以，但聪明的同学会把 88 拆成 $8 \times 11$ ，因为 $8 \times 125 = 1000$ ，一下子就算出 $11000$ ！

这种"化难为易"的本领，靠的就是运算定律。运算定律是计算世界的"交通规则"，告诉我们哪些情况下可以交换位置、可以先组合再计算。

这一讲，我们要学习五大运算定律和减法、除法的运算性质，学会观察数字特点，用"凑整"的思路进行简便计算。

知识讲解

加法运算定律

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 $a + b = b + a$
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变。 $(a + b) + c = a + (b + c)$

🔑

加法简算的核心是"凑整"：先找能凑成整十、整百的数。如 $67 + 25 + 33 = (67 + 33) + 25 = 100 + 25 = 125$ 。

乘法运算定律

乘法交换律： $a \times b = b \times a$
乘法结合律： $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。 $(a + b) \times c = a \times c + b \times c$

🔑

记住三对"黄金搭档"： $2 \times 5 = 10$ ， $4 \times 25 = 100$ ， $8 \times 125 = 1000$ 。看到 25 就找 4，看到 125 就找 8。

减法和除法的运算性质

一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和： $a - b - c = a - (b + c)$
一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积： $a \div b \div c = a \div (b \times c)$

🔑

$472 - 68 - 32 = 472 - (68 + 32) = 472 - 100 = 372$ 。注意：括号前是减号，去括号或添括号时括号里要"变号"。

经典例题

例加法简便计算

用简便方法计算： $258 + 97 + 42 + 103$ 。

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观察数字： $258 + 42 = 300$ ， $97 + 103 = 200$ ，都能凑整。
运用加法交换律和结合律： $(258 + 42) + (97 + 103)$ 。
计算： $300 + 200 = 500$ 。
答：结果是 500。

例乘法分配律

用简便方法计算： $102 \times 45$ 和 $56 \times 37 + 44 \times 37$ 。

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把 102 拆成 $100 + 2$ ： $102 \times 45 = (100 + 2) \times 45 = 100 \times 45 + 2 \times 45 = 4500 + 90 = 4590$ 。
第二题是分配律的"逆用"： $56 \times 37 + 44 \times 37 = (56 + 44) \times 37$ 。
计算： $100 \times 37 = 3700$ 。
答：两题结果分别是 4590 和 3700。

例连除的简便计算

用简便方法计算： $3200 \div 25 \div 4$ 。

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连续除以两个数，等于除以这两个数的积。
$3200 \div 25 \div 4 = 3200 \div (25 \times 4)$ 。
$25 \times 4 = 100$ ， $3200 \div 100 = 32$ 。
答：结果是 32。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

分配律漏乘： $(100 + 2) \times 45$ 错算成 $100 \times 45 + 2$ ，忘了 2 也要乘 45。
混淆结合律与分配律： $25 \times (40 + 4)$ 用分配律； $25 \times 40 \times 4$ 用结合律，两者别搞混。
$125 \times 88$ 拆错：应拆成 $125 \times 8 \times 11$ 或 $125 \times (80 + 8)$ ，不能拆成 $125 \times 80 \times 8$ 。
减法性质忘记变号： $a - (b - c) = a - b + c$ ，去括号时括号里的减号要变加号。
为了简便乱改顺序：没有依据不能随便交换，如 $100 - 36 + 64$ 不等于 $100 - (36 + 64)$ 。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 班级游西溪湿地

四（2）班组织去西溪湿地研学，门票每人 25 元，全班 44 人，一共要多少元？

分步解：

列式： $25 \times 44$ 。
把 44 拆成 $4 \times 11$ ： $25 \times 4 \times 11 = 100 \times 11 = 1100$ （元）。
答：一共要 1100 元。

生活应用题 2 · 超市购物

妈妈在超市买了一箱牛奶 68 元、一袋大米 97 元、一瓶酱油 32 元，一共花多少元？

分步解：

列式： $68 + 97 + 32$ 。
用交换律和结合律凑整： $(68 + 32) + 97 = 100 + 97 = 197$ （元）。
答：一共花 197 元。

生活应用题 3 · 龙井茶装箱

茶厂要把 1200 罐龙井茶装箱运走，每盒装 8 罐，每箱装 5 盒，一共要多少箱？

分步解：

列式： $1200 \div 8 \div 5$ 。
用除法性质： $1200 \div (8 \times 5) = 1200 \div 40 = 30$ （箱）。
答：一共要 30 箱。

考点

🎯考点提示

加法交换律、结合律的字母表达与运用
乘法交换律、结合律的字母表达与运用
乘法分配律的正用与逆用（重点、难点）
减法性质 $a - b - c = a - (b + c)$ 与除法性质 $a \div b \div c = a \div (b \times c)$
观察数字特点选择合理的简便算法（凑整思想）

视频讲解

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