除数是两位数的除法

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

图书角新到 96 本书，要平均分给 32 个小组，每组能分几本？列式是 $96 \div 32$ ——除数变成了两位数！

以前我们学的除法，除数都是一位数，用乘法口诀就能直接想商。现在除数是两位数，口诀帮不上忙了，怎么办？数学家的办法是：把除数看成整十数来"试商"。

这一讲，我们要学会口算除法、笔算除法的试商与调商，还要认识一个重要的规律——商不变的规律。

知识讲解

口算与估算

整十数的除法可以用乘法反过来想：

$80 \div 20 = 4 \quad (\text{因为 } 20 \times 4 = 80) \qquad 150 \div 50 = 3$

估算 $122 \div 30$ ：把 122 看作 120， $120 \div 30 = 4$ ，所以商大约是 4。

笔算：用"四舍五入"法试商

计算 $84 \div 21$ ：把除数 21 看作 20 来试商， $84 \div 20$ 想商 4，检验 $21 \times 4 = 84$ ，正好，商 4。

计算 $196 \div 39$ ：把 39 看作 40 试商，想 $196 \div 40$ 商 4，检验 $39 \times 4 = 156$ ， $196 - 156 = 40$ ，余数 40 比除数 39 大，说明商小了，要调大为 5： $39 \times 5 = 195$ ，余 1。

🔑

试商方法：除数个位是 1~~4，四舍看作整十数；个位是 5~~9，五入看作整十数。"四舍"易商大，"五入"易商小，不合适就调商。

商的位数与验算

先看被除数的前两位：前两位够除，商就从十位写起（商两位数）；前两位不够除，就看前三位，商是一位数。

验算方法：商 × 除数 + 余数 = 被除数。

🔑

每次除得的余数必须比除数小；余数比除数大说明商小了，乘出来的积比被除数大说明商大了。

商不变的规律

观察：

$72 \div 9 = 8 \qquad 720 \div 90 = 8 \qquad 7200 \div 900 = 8$

被除数和除数同时乘（或除以）同一个数（0 除外），商不变。利用它可以简算： $900 \div 25 = (900 \times 4) \div (25 \times 4) = 3600 \div 100 = 36$ 。

🔑

商不变的规律中，"同时""相同的数""0 除外"三个条件缺一不可。注意：商不变，但余数会跟着变。

经典例题

例基本笔算

用竖式计算 $612 \div 18$ 。

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先看前两位：61 比 18 大，够除，商从十位写起。
十位：把 18 看作 20 试商， $61 \div 20$ 想商 3， $18 \times 3 = 54$ ， $61 - 54 = 7$ ，商 3 写在十位。
落下个位 2 得 72， $72 \div 18 = 4$ ， $18 \times 4 = 72$ ，正好除尽。
答： $612 \div 18 = 34$ 。验算： $34 \times 18 = 612$ ，正确。

例试商与调商

用竖式计算 $240 \div 26$ 。

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前两位 24 比 26 小，不够除，看前三位 240，商是一位数。
把 26 看作 30 试商： $240 \div 30$ 想商 8，检验 $26 \times 8 = 208$ ， $240 - 208 = 32$ ，余数 32 大于除数 26，商小了。
调大为 9： $26 \times 9 = 234$ ， $240 - 234 = 6$ ，余数 6 小于 26，合适。
答： $240 \div 26 = 9 \cdots\cdots 6$ 。验算： $26 \times 9 + 6 = 240$ ，正确。

例用商不变规律简算

计算 $3600 \div 400$ ，并说一说余数问题： $650 \div 60$ 用简算后余数是多少？

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$3600 \div 400$ ：被除数和除数同时除以 100，变成 $36 \div 4 = 9$ 。
$650 \div 60$ ：同时除以 10 得 $65 \div 6 = 10 \cdots\cdots 5$ ，但这个"5"是简算后的余数。
被除数和除数都缩小了 10 倍，余数也缩小了 10 倍，真正的余数要乘回去： $5 \times 10 = 50$ 。
答： $3600 \div 400 = 9$ ； $650 \div 60 = 10 \cdots\cdots 50$ 。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

试商后不检验：试出的商必须用"商×除数"检验，余数比除数大要调大商，积比被除数大要调小商。
商的位数判断错：前两位不够除时商是一位数，别把商的位置写错。
商中间漏 0：哪一位不够商 1 就商 0 占位，如 $624 \div 6$ 商是 104，中间的 0 不能丢。
用商不变规律后余数照抄：商不变，余数变了！要把余数还原（乘回同一个数）。
横式上忘写余数：有余数的除法，横式上商和余数都要写全。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 西湖游船分组

四年级 156 名同学去西湖坐游船，每条船限坐 26 人，需要租几条船？

分步解：

列式： $156 \div 26$ 。
把 26 看作 30 试商，想商 5， $26 \times 5 = 130$ ，余 26 不小于除数，调大为 6： $26 \times 6 = 156$ ，正好除尽。
答：需要租 6 条船。

生活应用题 2 · 地铁购票

学校为 168 名同学购买杭州地铁一日票，每 14 人分成一个小队由一位老师带领，一共要分成多少个小队？

分步解：

列式： $168 \div 14$ 。
前两位 16 够除：十位商 1，余 2；落下 8 得 28， $14 \times 2 = 28$ ，个位商 2。
答： $168 \div 14 = 12$ ，一共分成 12 个小队。

生活应用题 3 · 龙井村采茶

采茶工人一天采了 585 克茶芽，每 45 克可炒制一份龙井样品，一共能炒多少份？

分步解：

列式： $585 \div 45$ 。
前两位 58 够除：十位商 1，余 13；落下 5 得 135， $45 \times 3 = 135$ ，个位商 3。
答： $585 \div 45 = 13$ ，一共能炒 13 份。

考点

🎯考点提示

整十数除整十数、几百几十数的口算与估算
除数是两位数的笔算除法："四舍五入"试商与调商
商的位数判断、商中间或末尾有 0 的除法
有余数除法的验算：商×除数+余数=被除数
商不变的规律及其简算应用（注意余数的还原）

视频讲解

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