知识背景
班里统计兴趣小组：参加跳绳的 9 人，参加踢毽的 8 人。老师说一共只有 14 人，怎么 对不上呢？
原来，有 3 位同学两样都参加了，直接相加时他们被算了两次！这类"有人身兼两职"的问题，叫做 重叠问题。
数学家想出了一个好办法——画 韦恩图（两个交叉的圈），把重复的部分一眼看清。这一讲，我们就用它来解决集合问题。
知识讲解
认识韦恩图
画两个交叉的圆圈：左圈表示"参加跳绳的人"，右圈表示"参加踢毽的人"，中间重叠的部分表示"两样都参加的人"。
- 只参加跳绳：左圈去掉中间的部分。
- 只参加踢毽：右圈去掉中间的部分。
- 两样都参加：中间重叠部分。
韦恩图把"只属于甲""只属于乙""两者都属于"三块分得清清楚楚，是解决重叠问题的好帮手。
重叠问题的核心公式
直接相加时，重叠的人被算了 2 次，所以要减去 1 次：
例如：跳绳 9 人，踢毽 8 人，两样都参加 3 人，总人数 （人）。
加起来，再减去重复的——这就是重叠问题的口诀。反过来，重复人数 = 甲 + 乙 − 总人数。
求"只参加一项"的人数
- 只参加跳绳：（人）。
- 只参加踢毽：（人）。
- 检验：（人），与总人数一致。
"只参加甲" = 甲的总人数 − 重叠人数。算完后把三块加起来验算，等于总人数才对。
经典例题
三（1）班参加朗读比赛的有 12 人，参加书法比赛的有 10 人，其中 4 人两项都参加。参加比赛的一共有多少人？
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- 直接相加会把 4 人算两次。
- 用公式：（人）。
- 答：参加比赛的一共有 18 人。
班里订《数学报》的有 15 人，订《作文报》的有 13 人，两种报纸至少订一种的有 22 人。两种都订的有多少人？
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- 重叠人数 = 两部分之和 − 总人数。
- 计算：（人）。
- 答：两种都订的有 6 人。
体育课上，喜欢篮球的有 16 人，喜欢足球的有 11 人，两样都喜欢的有 5 人。只喜欢篮球的有多少人？只喜欢足球的呢？
✏️ 点击查看解答
- 只喜欢篮球：（人）。
- 只喜欢足球：（人）。
- 检验： 人，正好等于 ，正确。
- 答：只喜欢篮球的有 11 人，只喜欢足球的有 6 人。
难点与易错点
- 直接把两部分相加：有重叠时， 会把重复的人多算一次，必须减去重叠人数。
- 减错次数：重叠的人被算了 2 次，只需减 1 次，不是减 2 次。
- "只参加"与"参加"混淆："参加跳绳的 9 人"包含两样都参加的人；"只参加跳绳"要减去重叠部分。
- 画韦恩图时数字填错位置：中间先填重叠人数，再用减法填两边"只有"的部分。
- 忘记验算：三块之和应等于总人数，不相等说明填错了。
生活中的应用
生活应用题 1 · 春游去哪儿
三（2）班调查春游意愿：想去西湖的有 20 人，想去西溪湿地的有 18 人，其中 8 人两个地方都想去。参加调查的一共有多少人？
分步解：
- 用公式：总人数 = 甲 + 乙 − 重叠。
- 计算：（人）。
- 答：参加调查的一共有 30 人。
生活应用题 2 · 坐过的交通工具
班里坐过杭州地铁的有 25 人，坐过西湖游船的有 17 人，全班 38 人每人至少坐过一种。两种都坐过的有多少人？
分步解：
- 重叠人数 = 两部分之和 − 总人数。
- 计算：（人）。
- 答：两种都坐过的有 4 人。
生活应用题 3 · 茶文化活动
学校茶文化节上，参加"龙井茶知识问答"的有 14 人，参加"茶艺表演"的有 9 人，两项都参加的有 3 人。只参加知识问答的有多少人？
分步解：
- 只参加问答 = 问答总人数 − 重叠人数。
- 计算：（人）。
- 答：只参加知识问答的有 11 人。
考点
- 认识韦恩图，会把数据填进"只有甲、重叠、只有乙"三个区域
- 求总人数：甲 + 乙 − 重叠部分
- 求重叠人数：甲 + 乙 − 总人数
- 求"只参加一项"的人数：该项人数 − 重叠人数
- 用三块之和等于总人数进行检验