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🔢 小学数学六年级下图形与拓展思维拓展难点

数学广角：鸽巢问题

4 只鸽子飞进 3 个鸽巢，总有一个巢里至少有 2 只——这就是抽屉原理。学会"平均分＋余数"的思考方法，解决"至少"问题。

难度：★★★★★

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

乐乐班上有 13 个同学在一月过生日。老师说："你们中至少有 2 个人是同一周过生日的。"咦，老师又没看过大家的生日，怎么这么肯定？

因为一月最多只有 5 个"周"（把一月的天数按周划分），13 个人"住进"5 个"周"里，总有一个"周"至少住了 3 个人！

这种"先造抽屉、再放东西"的推理方法叫鸽巢问题（也叫抽屉原理），是数学广角里最经典的思维训练，小升初面谈和竞赛都爱考。

知识讲解

鸽巢问题的基本形式

把 4 支铅笔放进 3 个笔筒，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放 2 支。

道理：假设每个笔筒先放 1 支，用去 3 支，剩下的 1 支不管放进哪个笔筒，那个笔筒就有 2 支了。

🔑

物体数比抽屉数多时（物体 > 抽屉），总有一个抽屉至少放 2 个物体。

一般方法：平均分 + 余数

把 mm 个物体放进 nn 个抽屉（m>nm > n）：

m÷n=商⋯⋯余数m \div n = \text{商} \cdots\cdots \text{余数}

  • 余数为 0 时：至少数 = 商；
  • 余数不为 0 时：至少数 = 商 + 1。

例：7 只鸽子飞进 3 个巢，7÷3=2⋯⋯17 \div 3 = 2 \cdots\cdots 1，总有一个巢至少有 2+1=32 + 1 = 3 只。

🔑

口诀：平均分，看余数；有余数，商加一。注意是"商 + 1"，不是"商 + 余数"！

反过来用：至少取几个才能保证

"保证"类问题要考虑最坏情况：

盒子里有红、蓝两种颜色的球各 10 个，至少取几个才能保证有 2 个同色？

最坏情况：先取 2 个恰好一红一蓝（颜色数 = 抽屉数 = 2），再取 1 个必与其中一个同色。所以至少取 2+1=32 + 1 = 3 个。

🔑

"保证同色"问题：最不利原则——先把每种颜色各取 1 个（最坏情况），再多取 1 个。至少数 = 颜色数 + 1。

经典例题

例 基本鸽巢问题

6 个同学参加竞赛，共设一、二、三 3 种奖项，每人都获奖。为什么总有一种奖项至少有 2 人获得？

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  1. 把 3 种奖项看作 3 个"抽屉"，6 个同学看作 6 个"物体"。
  2. 6÷3=26 \div 3 = 2，余数为 0。
  3. 至少数 = 商 = 2。
  4. 答：总有一种奖项至少有 2 人获得。
例 商加一

11 个小朋友分坐 4 张桌子，总有一张桌子至少坐几人？

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  1. 平均分：11÷4=2⋯⋯311 \div 4 = 2 \cdots\cdots 3。
  2. 有余数，至少数 = 商 + 1 = 2+1=32 + 1 = 3。
  3. 注意：不是 2+3=52 + 3 = 5！余下的 3 人是分散到 3 张不同桌子上的（最坏情况）。
  4. 答：总有一张桌子至少坐 3 人。
例 保证问题（最坏情况）

袋子里有红、黄、白三种颜色的袜子各 8 只。至少摸出几只，才能保证有 2 只颜色相同？

✏️ 点击查看解答
  1. 把 3 种颜色看作 3 个抽屉。
  2. 最坏情况：前 3 只恰好红、黄、白各 1 只，还没有同色。
  3. 再摸 1 只，必定与前面某只同色。
  4. 至少摸 3+1=43 + 1 = 4（只）。答：至少摸出 4 只。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点
  1. "商 + 1"写成"商 + 余数"：11÷4=2⋯⋯311 \div 4 = 2 \cdots\cdots 3，至少数是 3，不是 5！余数的物体是分散放的。
  2. 分不清"物体"和"抽屉"：谁被放、谁是格子要想清楚——人放进桌子，人是物体，桌子是抽屉。
  3. "保证"和"可能"混淆："可能摸出 2 只同色"摸 2 只就行，"保证"必须按最坏情况算。
  4. 保证问题忘了"+1"：每种颜色各摸 1 只后（最坏情况），还要再摸 1 只才能保证同色。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 春游分车

学校组织去太子湾公园春游，38 名同学乘 3 辆车。总有一辆车上至少坐多少名同学？

分步解：

  1. 物体是 38 名同学，抽屉是 3 辆车。
  2. 38÷3=12⋯⋯238 \div 3 = 12 \cdots\cdots 2。
  3. 有余数，至少数 = 12+1=1312 + 1 = 13（名）。
  4. 答：总有一辆车上至少坐 13 名同学。

生活应用题 2 · 属相问题

乐乐班有 25 名同学。至少有几名同学属相相同？（属相共 12 种）

分步解：

  1. 把 12 种属相看作 12 个抽屉，25 名同学是物体。
  2. 25÷12=2⋯⋯125 \div 12 = 2 \cdots\cdots 1。
  3. 至少数 = 2+1=32 + 1 = 3（名）。
  4. 答：至少有 3 名同学属相相同。

生活应用题 3 · 抓茶叶罐

外婆的柜子里混放着龙井、白茶、红茶三种茶叶罐各 5 罐（外包装相同）。停电了看不见，至少拿出几罐，才能保证其中有 2 罐是同一种茶？

分步解：

  1. 3 种茶叶就是 3 个抽屉。
  2. 最坏情况：前 3 罐恰好每种各 1 罐。
  3. 再拿 1 罐必与某种相同：3+1=43 + 1 = 4（罐）。
  4. 答：至少拿出 4 罐。

考点

🎯考点提示
  • 基本鸽巢问题："总有一个抽屉至少放几个"（平均分 + 余数，商加一）
  • 正确识别问题中的"物体"与"抽屉"
  • "保证取出同色/同类"问题（最不利原则：种类数 + 1）
  • 说理题：会用"假设法"（先每个抽屉放 1 个）解释结论
  • 小升初思维题、面谈高频考点

视频讲解

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