分数除法 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

乐乐帮妈妈分披萨：一共有 2 张披萨，每人分 $\frac{1}{2}$ 张，可以分给几个人？

你心里马上有答案：4 个人。列成算式就是 $2 \div \frac{1}{2} = 4$ 。

咦，除法算出来的结果比被除数还大？没错——除以一个小于 1 的数，商反而变大。"2 里面有 4 个 $\frac{1}{2}$ "，这就是分数除法的本质：求一个数里包含多少个另一个数。

而计算方法更神奇：除以 $\frac{1}{2}$ ，等于乘 2。"翻个跟头"就能算，这一讲我们要弄明白为什么。

知识讲解

倒数

分子、分母交换位置，就得到一个数的倒数： $\frac{2}{3}$ 的倒数是 $\frac{3}{2}$ ；5 的倒数是 $\frac{1}{5}$ 。

🔑

乘积是 1 的两个数互为倒数： $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$ 。注意：1 的倒数是 1，0 没有倒数。

分数除法法则

🔑

除以一个数（0 除外），等于乘这个数的倒数。口诀：除号变乘号，除数翻跟头。

$\frac{5}{6} \div \frac{5}{12} = \frac{5}{6} \times \frac{12}{5} = 2$

为什么可以这样算？以 $2 \div \frac{1}{2}$ 为例：求 2 里面有几个 $\frac{1}{2}$ ，每张披萨能切出 2 份，2 张就是 $2 \times 2 = 4$ 份——"除以 $\frac{1}{2}$ "和"乘 2"结果完全一样。

已知一个数的几分之几，求这个数

一桶油用去 $\frac{2}{5}$ 正好是 4 千克，这桶油共多少千克？
单位"1"（整桶油）未知 → 用除法或方程： $4 \div \frac{2}{5} = 10$ （千克），或设整桶油为 $x$ 千克， $\frac{2}{5}x = 4$ 。

🔑

单位"1"已知用乘法，单位"1"未知用除法（或方程）。找单位"1"看"的"字前面、"是""比""占"后面的那个量。

经典例题

例分数除以分数

计算 $\frac{3}{10} \div \frac{9}{20}$ 。

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除号变乘号，除数翻跟头： $\frac{3}{10} \times \frac{20}{9}$ 。
先约分：3 和 9 约分（3→1，9→3）；20 和 10 约分（20→2，10→1）。
相乘： $\frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$ 。

例求单位1

六(1)班有 18 人参加运动会，占全班人数的 $\frac{2}{5}$ 。六(1)班共有多少人？

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找单位"1"：全班人数（未知）。
数量关系：全班人数 $\times \frac{2}{5}$ = 18。
用除法求单位"1"： $18 \div \frac{2}{5} = 18 \times \frac{5}{2} = 45$ （人）。
检验： $45 \times \frac{2}{5} = 18$ ✓。答：全班共 45 人。

例稍复杂的分数除法问题

一本书，小明第一天读了全书的 $\frac{1}{4}$ ，还剩 90 页没读。这本书共有多少页？

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找单位"1"：全书页数（未知），设为 $x$ 页。
剩下的占全书的 $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。
列方程： $\frac{3}{4}x = 90$ 。
解： $x = 90 \div \frac{3}{4} = 90 \times \frac{4}{3} = 120$ （页）。
答：这本书共 120 页。关键一步是先求"剩下部分对应的分率"。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

翻错对象：只把除数变倒数，被除数不动！ $\frac{5}{6} \div \frac{5}{12} \ne \frac{6}{5} \times \frac{5}{12}$ 。
忘记变乘号：翻了跟头却还写除号，等于错两次。
单位"1"找错："男生占全班的几分之几"中，单位"1"是全班，不是男生。
量与分率不对应：例 3 中 90 页对应的是 $\frac{3}{4}$ 而不是 $\frac{1}{4}$ ，先画线段图核对再列式。

生活中的应用

🌏生活中的应用

生活应用题 1 · 灌装桂花蜜

满觉陇的桂花蜜每小瓶装 $\frac{3}{4}$ 千克，6 千克桂花蜜可以装满多少瓶？

分步解：

求 6 里面有几个 $\frac{3}{4}$ ，用除法： $6 \div \frac{3}{4}$ 。
除号变乘号，除数翻跟头： $6 \times \frac{4}{3}$ 。
先约分： $6 \div 3 = 2$ ，再乘 4： $2 \times 4 = 8$ 。
答：可以装满 8 瓶。

生活应用题 2 · 地铁通勤

爸爸坐地铁上班，已经坐了 6 站，正好是全程的 $\frac{3}{7}$ 。爸爸上班全程有多少站？

分步解：

单位"1"是全程站数，未知，用除法。
列式： $6 \div \frac{3}{7} = 6 \times \frac{7}{3}$ 。
先约分 $6 \div 3 = 2$ ，再乘 7 得 14。
答：全程共 14 站。检验： $14 \times \frac{3}{7} = 6$ ✓。

生活应用题 3 · 千岛湖自驾

从杭州出发去千岛湖，行驶了 105 千米后，司机说"还剩全程的 $\frac{2}{5}$ "。全程有多少千米？

分步解：

已行驶部分占全程的 $1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ 。
105 千米对应的分率是 $\frac{3}{5}$ （量率对应）。
求全程： $105 \div \frac{3}{5} = 105 \times \frac{5}{3} = 175$ （千米）。
答：全程约 175 千米。

考点

🎯考点提示

倒数的概念（判断题：0 没有倒数、1 的倒数是 1）
分数除法直接计算（除号变乘号、除数翻跟头，必考）
"已知一个数的几分之几是多少，求这个数"（方程法或除法，高频应用题）
量率对应：先求出已知量对应的分率再计算（稍复杂应用题）
商与被除数的大小关系判断（除以小于 1 的数商变大）

视频讲解

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