科学计算题专题：密度·压强·电学·化学方程式

第一步 列已知：$m = 178\ \text{g}$，$V = 30\ \text{cm}^3$，$\rho_{\text{铜}} = 8.9\ \text{g/cm}^3$。单位已统一，无需换算。

第二步 选公式并说明为什么：判断空心的通用办法是比体积——由 $\rho = \dfrac{m}{V}$ 变形得 $V = \dfrac{m}{\rho}$，先算出这些铜实际占多大体积，再与球的总体积比较。之所以不用「比密度」，是因为算平均密度还要多一步除法，而比体积可直接得出空心部分。

第三步 代入：$V_{\text{铜}} = \dfrac{178\ \text{g}}{8.9\ \text{g/cm}^3}$。第四步 求解：$V_{\text{铜}} = 20\ \text{cm}^3$。因 $20\ \text{cm}^3$ 小于 $30\ \text{cm}^3$，铜没有填满整个球，故该球是空心的。空心部分体积 $V_{\text{空}} = 30 - 20 = 10\ \text{cm}^3$。

第五步 检验单位与合理性：$\dfrac{\text{g}}{\text{g/cm}^3} = \text{cm}^3$，单位正确；空心体积小于总体积，合理。也可反算平均密度 $\dfrac{178}{30} \approx 5.9\ \text{g/cm}^3$，小于铜的密度，与「空心」结论一致。答：空心，空心部分体积为 $10\ \text{cm}^3$。

第一步 列已知：$m = 120\ \text{kg}$，$S = 0.05\ \text{m}^2$，$h = 1.2\ \text{m}$，$\rho_{\text{水}} = 1.0 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$。

第二步 选公式并说明为什么：石碑是固体压在水平地面上，压力等于重力，用压强定义式 $p = \dfrac{F}{S}$，其中 $F = G = mg$；水是液体，其内部压强由深度和密度决定，与容器形状和水量都无关，故必须用 $p = \rho g h$。两者不可互换——这是本题的真正考点。

第三步 代入：$F = 120 \times 9.8 = 1176\ \text{N}$，$p_1 = \dfrac{1176}{0.05}$；$p_2 = 1.0 \times 10^{3} \times 9.8 \times 1.2$。第四步 求解：$p_1 = 2.352 \times 10^{4}\ \text{Pa}$；$p_2 = 1.176 \times 10^{4}\ \text{Pa}$。

第五步 检验单位与合理性：$\dfrac{\text{N}}{\text{m}^2} = \text{Pa}$，$\text{kg/m}^3 \cdot \text{N/kg} \cdot \text{m} = \text{Pa}$，单位均正确；两者都是万帕量级，与常识（人站立约 $10^{4}\ \text{Pa}$）相符。答：约 $2.4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$ 和 $1.2 \times 10^{4}\ \text{Pa}$。

第一步 列已知并统一单位：$V = 500\ \text{cm}^3 = 5 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$，露出部分占 $\dfrac{1}{5}$，故浸入部分占 $\dfrac{4}{5}$，$V_{\text{排}} = \dfrac{4}{5} \times 5 \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-4}\ \text{m}^3$。这一步是全题的关键：公式里要的是排开的体积，不是木块的体积。

第二步 选公式并说明为什么：求浮力用阿基米德原理 $F_{\text{浮}} = \rho_{\text{液}} g V_{\text{排}}$，因为已知液体密度和排开体积；求质量则利用漂浮条件 $F_{\text{浮}} = G$，这是把浮力与重力接通的唯一桥梁，再由 $G = mg$ 得质量。

第三步 代入：$F_{\text{浮}} = 1.0 \times 10^{3} \times 9.8 \times 4 \times 10^{-4}$；$m = \dfrac{G}{g} = \dfrac{F_{\text{浮}}}{9.8}$。第四步 求解：$F_{\text{浮}} = 3.92\ \text{N}$；$G = 3.92\ \text{N}$，$m = 0.4\ \text{kg}$；$\rho = \dfrac{m}{V} = \dfrac{0.4}{5 \times 10^{-4}} = 800\ \text{kg/m}^3$。

第五步 检验单位与合理性：木块密度 $800\ \text{kg/m}^3$ 小于水的密度，能漂浮，与题设一致；且浸入体积比 $\dfrac{4}{5}$ 恰好等于密度比 $\dfrac{800}{1000}$，两条结论互相印证。答：$3.92\ \text{N}$、$0.4\ \text{kg}$、$800\ \text{kg/m}^3$。

第一步 列已知并统一单位：$U = 220\ \text{V}$，$P = 1500\ \text{W}$，$m = 1.5\ \text{kg}$，$\Delta t = 100 - 20 = 80\ ^\circ\mathrm{C}$，$t = 6\ \text{min} = 360\ \text{s}$。时间必须化成秒，否则电能算错 $60$ 倍。

第二步 选公式并说明为什么：求电流用 $I = \dfrac{P}{U}$（由 $P = UI$ 变形，已知功率与电压）；求电阻用 $R = \dfrac{U^2}{P}$（同样由 $P = \dfrac{U^2}{R}$ 变形，避免先算电流再算电阻的累积误差）；求电能用 $W = Pt$；求水吸热用 $Q_{\text{吸}} = cm\Delta t$——这是计算物体吸热的唯一公式。效率的有用能量是水吸收的热量，总能量是消耗的电能。

第三步 代入：$I = \dfrac{1500}{220}$；$R = \dfrac{220^2}{1500}$；$W = 1500 \times 360$；$Q_{\text{吸}} = 4.2 \times 10^{3} \times 1.5 \times 80$。第四步 求解：$I \approx 6.8\ \text{A}$；$R \approx 32.3\ \Omega$；$W = 5.4 \times 10^{5}\ \text{J}$；$Q_{\text{吸}} = 5.04 \times 10^{5}\ \text{J}$；$\eta = \dfrac{5.04}{5.4} \times 100\% \approx 93.3\%$。

第五步 检验单位与合理性：$\text{W} \cdot \text{s} = \text{J}$，单位正确；效率 $93.3\%$ 小于 $100\%$，且电热器的效率本就很高（热直接产生在水中），合理。若算出大于 $100\%$，必是把 $Q_{\text{吸}}$ 与 $W$ 弄反了。答：约 $6.8\ \text{A}$、$32.3\ \Omega$、$5.4 \times 10^{5}\ \text{J}$、约 $93\%$。

第一步 列已知：$G = 300\ \text{N}$，$h = 2\ \text{m}$，$F = 180\ \text{N}$，$s = 4\ \text{m}$。由 $\dfrac{s}{h} = 2$ 可知绳子的有效股数为 2。

第二步 选公式并说明为什么：有用功是「把物体提上去」这件事本身所需的功，故 $W_{\text{有用}} = Gh$；总功是人实际做的功，即拉力乘绳端移动距离 $W_{\text{总}} = Fs$——注意不能用 $Fh$，因为拉力作用点移动的是 $s$ 而不是 $h$。效率按定义 $\eta = \dfrac{W_{\text{有用}}}{W_{\text{总}}} \times 100\%$。

第三步 代入：$W_{\text{有用}} = 300 \times 2$；$W_{\text{总}} = 180 \times 4$。第四步 求解：$W_{\text{有用}} = 600\ \text{J}$，$W_{\text{总}} = 720\ \text{J}$，$\eta = \dfrac{600}{720} \times 100\% \approx 83.3\%$。额外功 $W_{\text{额外}} = 720 - 600 = 120\ \text{J}$；忽略绳重与摩擦时额外功全部用于提升动滑轮，由 $W_{\text{额外}} = G_{\text{动}}h$ 得 $G_{\text{动}} = \dfrac{120}{2} = 60\ \text{N}$。

第五步 检验单位与合理性：$\text{N} \cdot \text{m} = \text{J}$，单位正确；效率小于 $100\%$；动滑轮重 $60\ \text{N}$ 远小于物重 $300\ \text{N}$，符合实际。答：$600\ \text{J}$、$720\ \text{J}$、约 $83.3\%$、$60\ \text{N}$。

第一步 列已知：石灰石 $10\ \text{g}$，纯度 $80\%$；反应为 $\mathrm{CaCO_3 + 2HCl \longrightarrow CaCl_2 + H_2O + CO_2\uparrow}$，相对分子质量 $\mathrm{CaCO_3}$ 为 $100$、$\mathrm{CO_2}$ 为 $44$。溶液部分：$m_{\text{溶液}} = 200\ \text{g}$，$w = 10\%$。

第二步 选公式并说明为什么：方程式计算必须代入纯净且参加反应的物质质量，所以先求纯碳酸钙质量 $m = 10 \times 80\% = 8\ \text{g}$（杂质不反应，不能把 $10\ \text{g}$ 直接代入，这是本类题的头号陷阱）。再按方程式中的质量比例关系列比例式。溶液部分用定义式 $w = \dfrac{m_{\text{溶质}}}{m_{\text{溶液}}} \times 100\%$。

第三步 代入：设生成 $\mathrm{CO_2}$ 质量为 $x$，则 $\dfrac{100}{44} = \dfrac{8\ \text{g}}{x}$；氯化钠质量 $m_{\text{NaCl}} = 200 \times 10\%$。第四步 求解：$x = \dfrac{44 \times 8}{100} = 3.52\ \text{g}$；$m_{\text{NaCl}} = 20\ \text{g}$，水的质量 $= 200 - 20 = 180\ \text{g}$。

第五步 检验单位与合理性：$3.52\ \text{g}$ 小于参加反应的 $8\ \text{g}$，符合质量守恒（碳酸钙中的钙留在了氯化钙里）；溶质加溶剂等于溶液质量，$20 + 180 = 200$，无误。答：生成 $\mathrm{CO_2}$ $3.52\ \text{g}$；需氯化钠 $20\ \text{g}$、水 $180\ \text{g}$。