身体的防卫

• 杭州的预防接种门诊：社区卫生服务中心按《免疫规划疫苗儿童免疫程序》为适龄儿童免费接种，孩子的接种证入学时要查验，这是计划免疫的落地形式。
• 秋冬流感疫苗：流感病毒表面蛋白每年变异，世界卫生组织每年推荐新配方，因此流感疫苗要每年接种一次。
• 西溪湿地春天的花粉：三四月芦苇、柳树等植物散播花粉，过敏体质的人出门戴口罩、回家洗鼻，靠的是「远离过敏原」而不是提高免疫力。
• 青霉素皮试：用药前先在手臂皮内注射微量药液观察反应，目的是筛查过敏，避免严重过敏反应。

生活应用题 1 · 抗体水平的衰减与加强针

某疫苗接种完成后，体内抗体浓度为 $640$ 个单位，之后每 4 个月约衰减一半。当抗体浓度低于 $80$ 个单位时保护力显著下降，需接种加强针。约多久后应打加强针？

分步解：

1. 理解衰减规律：每 4 个月变为原来的 $\dfrac{1}{2}$，属倍减过程。
2. 列式求衰减次数 $n$，依据 $640 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} = 80$：即 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} = \dfrac{1}{8}$，故 $n = 3$。
3. 换算时间：$t = 3 \times 4 = 12$（个月）。
4. 检验并作答：逐次核对 $640 \to 320 \to 160 \to 80$，正好三次。约 12 个月后应接种加强针。这说明抗体不是永久不变的，免疫记忆虽长期存在，但抗体浓度会下降，加强针的作用是让机体再次接受抗原刺激、迅速把抗体水平顶上去。

生活应用题 2 · 群体免疫门槛的估算

某传染病中，一个患者平均能传染 $4$ 个易感者（记作 $R_0 = 4$）。若某疫苗保护率为 $80\%$，理论上要使传播链无法维持（每个患者平均传染人数不超过 $1$），至少需多大接种率？

分步解：

1. 求所需的易感者比例上限：要让传染人数由 $4$ 降到 $1$，易感人群比例须降到 $\dfrac{1}{4} = 25\%$，即有效免疫人群须达 $75\%$。
2. 考虑疫苗并非 $100\%$ 有效：设接种率为 $x$，则有效免疫比例为 $0.8x$，需 $0.8x \geq 0.75$。
3. 解不等式：$x \geq \dfrac{0.75}{0.8} = 0.9375$，即约 $93.8\%$。
4. 检验并作答：$R_0$ 越大、疫苗保护率越低，所需接种率越高，符合直觉。至少约 $94\%$。这解释了为什么麻疹这类传染性极强的病要求接种率必须很高——只有极少数人未接种时，未接种者才能借群体免疫得到间接保护。