电功率与电热器 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

一八四一年，英国啤酒商之子焦耳做了一个在当时看来极其枯燥的实验：把一段金属丝浸在水里通电，用精密温度计一遍遍量水温上升了多少。他反复改变电流大小和通电时间，记满了好几本数据。

结论出人意料地整齐：电流产生的热量与电流的平方成正比，与电阻成正比，与通电时间成正比。这就是焦耳定律 $Q = I^2Rt$ 。那个「平方」意味深长——电流增大到 2 倍，发热量不是 2 倍而是 4 倍。这条规律后来救了无数人的命：家里的保险丝、空调专用线、插座不许接太多大功率电器，全都建立在它之上。电线着火几乎总是因为电流过大，而热量按平方猛涨。

同一时期，人们也弄清了「灯泡亮不亮」到底由什么决定。灯泡上的「 $220\ \mathrm{V}\ \ 40\ \mathrm{W}$ 」不是灯泡的固有属性，而是一个条件承诺：只有在 $220$ 伏下工作时它才消耗 $40$ 瓦。电压变了，实际功率立刻跟着变。这一节的两个主角——电功率与电热——是杭州中考电学大题的绝对核心。

知识讲解

电功率

🔑

电流在单位时间内做的功叫做电功率，表示电流做功的快慢，也就是消耗电能的快慢：

$P = \frac{W}{t} = UI$

单位是瓦特（ $\mathrm{W}$ ）， $1\ \mathrm{kW} = 1000\ \mathrm{W}$ 。对纯电阻用电器，代入欧姆定律还得两个极常用的变形式：

$P = I^2 R = \frac{U^2}{R}$

选公式的策略：串联电路电流相同，优先用 $P = I^2R$ ，功率与电阻成正比；并联电路电压相同，优先用 $P = \dfrac{U^2}{R}$ ，功率与电阻成反比。

额定电压与额定功率

🔑

额定电压 $U_{\text{额}}$ ：用电器正常工作时的电压。额定功率 $P_{\text{额}}$ ：用电器在额定电压下工作时的功率。二者都刻在铭牌上，是固定不变的。

实际电压 $U_{\text{实}}$ 决定实际功率 $P_{\text{实}}$ ： $U_{\text{实}} = U_{\text{额}}$ 时正常工作； $U_{\text{实}}$ 小于 $U_{\text{额}}$ 时灯偏暗、功率偏小； $U_{\text{实}}$ 大于 $U_{\text{额}}$ 时可能烧坏。

由 $P = \dfrac{U^2}{R}$ 可得关系式 $\dfrac{P_{\text{实}}}{P_{\text{额}}} = \left(\dfrac{U_{\text{实}}}{U_{\text{额}}}\right)^2$ ——电压减半，功率变为四分之一。

灯丝电阻可由铭牌算出： $R = \dfrac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}}$ 。一般题目中把它当定值处理。

焦耳定律与电热器

🔑

电流通过导体产生的热量：

$Q = I^2 R t$

这是普遍适用的定律，任何用电器都成立。对纯电阻用电器，电能全部转化为内能，此时 $Q = W$ ，也可写成 $Q = UIt = \dfrac{U^2}{R}t$ 。

对非纯电阻用电器（电动机、电风扇），只有一部分电能变成热，此时 $W$ 大于 $Q$ ，热量只能用 $Q = I^2Rt$ 算。

⚖️电热器为什么这样设计

发热体用电阻率大、熔点高的合金（如镍铬合金），电阻大则同样电流下发热多。
连接导线用铜或铝，电阻很小，串在同一电路中电流相同，由 $Q = I^2Rt$ 知导线发热远小于发热体。
电饭锅、电熨斗、电热毯都是纯电阻电热器；电脑、电视机要装风扇散热，因为发热是有害的副产物。

实验与探究

例探究电流产生的热量与哪些因素有关

用两个封闭容器（内装等量煤油、插温度计）、阻值不同的电阻丝、滑动变阻器，探究电热与电流、电阻的关系。

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转换法：热量看不见，用煤油温度上升的多少来反映——升温越多，产生的热量越多。用煤油而不用水，是因为煤油比热容小，同样吸热升温更明显，实验现象更清晰。

探究一 · 电热与电阻的关系：把阻值不同的两根电阻丝串联接入电路，保证电流和通电时间相同（这是串联的用意）。现象是阻值大的容器中煤油升温更多。结论：电流和时间相同时，电阻越大产生的热量越多。探究二 · 电热与电流的关系：把两个相同的容器串联，其中一个容器的电阻丝再并联一个电阻分流，使两容器通过的电流不同而电阻相同；或用滑动变阻器改变电流，比较同一容器前后升温。现象是电流越大升温越明显，且电流加倍时升温远超两倍。结论：电流越大产生的热量越多，且成平方关系。

经典例题

例额定功率与实际功率的分步计算

一只灯泡标有「 $220\ \mathrm{V}\ \ 100\ \mathrm{W}$ 」。（1）它正常工作时的电流与灯丝电阻各是多少？（2）若把它接在 $110\ \mathrm{V}$ 的电源上（设电阻不变），实际功率是多少？

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第一步 · 列已知量： $U_{\text{额}} = 220\ \mathrm{V}$ ， $P_{\text{额}} = 100\ \mathrm{W}$ ，后一问 $U_{\text{实}} = 110\ \mathrm{V}$ 。铭牌给的一定是额定值。第二步 · 判断电路：灯泡单独接在电源上，两端电压就是电源电压，无需考虑串并联分压。

第三步 · 求额定电流，选 $P = UI$ 变形（已知功率与电压，一步到位）： $I = \dfrac{100}{220} \approx 0.45\ \mathrm{A}$ 。第四步 · 求灯丝电阻，选 $R = \dfrac{U^2}{P}$ （比先求电流再相除更少误差）： $R = \dfrac{220^2}{100} = 484\ \Omega$ 。第五步 · 求实际功率。电阻是灯泡自身的性质，不随电压变化，已知 $U_{\text{实}}$ 与 $R$ ，选 $P = \dfrac{U^2}{R}$ ： $P_{\text{实}} = \dfrac{110^2}{484} = 25\ \mathrm{W}$ 。第六步 · 检验合理性：电压变为一半，功率变为 $\dfrac{1}{4}$ ，与 $\dfrac{P_{\text{实}}}{P_{\text{额}}} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2$ 的规律完全吻合； $25$ 瓦的灯明显偏暗，符合「电压不足灯不亮」的经验。答：约 $0.45$ 安、 $484$ 欧、 $25$ 瓦。

例串联电路中的功率分配（易错大题）

把「 $6\ \mathrm{V}\ \ 3\ \mathrm{W}$ 」的小灯 $L$ 与一个 $6\ \Omega$ 的定值电阻 $R$ 串联，接在 $9\ \mathrm{V}$ 的电源上。设灯丝电阻不变。求：（1）灯的实际功率；（2） $R$ 消耗的功率；（3）通电 $1$ 分钟电路产生的总热量。

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第一步 · 列已知量： $U_{L\text{额}} = 6\ \mathrm{V}$ ， $P_{L\text{额}} = 3\ \mathrm{W}$ ， $R = 6\ \Omega$ ， $U = 9\ \mathrm{V}$ ， $t = 60\ \mathrm{s}$ 。

第二步 · 判断电路连接方式：串联。所以电流处处相等，两段电压之和为 $9$ 伏。这决定了必须先求出电流，才能分别算功率——直接用铭牌上的 $3$ 瓦是最典型的错误，因为灯没有工作在额定电压下。

第三步 · 求灯丝电阻，选 $R_L = \dfrac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}}$ ： $R_L = \dfrac{6^2}{3} = 12\ \Omega$ 。第四步 · 求电流：串联总电阻 $R_{\text{总}} = 12 + 6 = 18\ \Omega$ ，由 $I = \dfrac{U}{R_{\text{总}}} = \dfrac{9}{18} = 0.5\ \mathrm{A}$ 。

第五步 · 求各自功率。已知电流与各自电阻，选 $P = I^2R$ 最直接： $P_L = 0.5^2 \times 12 = 3\ \mathrm{W}$ ， $P_R = 0.5^2 \times 6 = 1.5\ \mathrm{W}$ 。第六步 · 求总热量。两者都是纯电阻，选 $Q = UIt$ （用总电压与总电流）： $Q = 9 \times 0.5 \times 60 = 270\ \mathrm{J}$ 。第七步 · 检验： $P_L : P_R = 12 : 6 = 2 : 1$ ，符合串联时功率与电阻成正比；灯的额定电流为 $\dfrac{3}{6} = 0.5\ \mathrm{A}$ ，实际电流恰好也是 $0.5$ 安，所以灯正好正常发光，实际功率等于额定功率 $3$ 瓦——这是本题的巧合，不可推广。总功率 $3 + 1.5 = 4.5\ \mathrm{W}$ ，乘 $60$ 秒得 $270$ 焦，与第六步一致。答： $3$ 瓦、 $1.5$ 瓦、 $270$ 焦。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

把额定功率当实际功率：铭牌功率只在额定电压下才成立，串联分压或电压偏低时必须重算。
忘记电压与功率是平方关系：电压变为 $\dfrac{1}{2}$ ，功率变为 $\dfrac{1}{4}$ ，不是 $\dfrac{1}{2}$ 。
串并联选错公式：串联用 $P = I^2R$ （正比于 $R$ ），并联用 $P = \dfrac{U^2}{R}$ （反比于 $R$ ），选反了结论就颠倒。
对电动机用 $Q = UIt$ 算热量：非纯电阻只能用 $Q = I^2Rt$ ，其余电能变成了机械能。
单位不统一： $P = \dfrac{W}{t}$ 中瓦配焦和秒，千瓦配千瓦时和小时，混用必错。
认为功率大的用电器耗电一定多：耗电看 $W = Pt$ ，还要乘时间；而「灯泡越亮功率越大」也只有同一灯泡比较时才成立，不同灯泡还要看电阻与电压。

生活中的应用

🌏生活中的应用

亚运场馆的照明：几千盏灯同时点亮，总功率上百千瓦，所以场馆要用专用高压进线与变压器，普通家用线路根本承受不了这么大的电流。
为什么空调要单独走一路线：空调电流大，由 $Q = I^2Rt$ 知导线发热按电流平方增长，与其他电器共用细导线容易过热起火。
电饭锅与电脑的区别：电饭锅是纯电阻，发热正是目的；电脑发热是副产物，必须靠风扇带走。

生活应用题 1 · 电热水壶的实际功率与烧水时间

电热水壶铭牌为「 $220\ \mathrm{V}\ \ 1210\ \mathrm{W}$ 」。用电高峰时实际电压只有 $200\ \mathrm{V}$ 。求：（1）它的电阻；（2）高峰时的实际功率；（3）高峰时烧开 $1.5$ 千克 $20\ ^\circ\mathrm{C}$ 的水需要多长时间（热效率 $80\%$ ， $c_{\text{水}} = 4.2 \times 10^{3}\ \mathrm{J/(kg \cdot {}^\circ C)}$ ）。

分步解：

列已知量： $U_{\text{额}} = 220\ \mathrm{V}$ ， $P_{\text{额}} = 1210\ \mathrm{W}$ ， $U_{\text{实}} = 200\ \mathrm{V}$ ， $m = 1.5\ \mathrm{kg}$ ， $\Delta t = 80\ ^\circ\mathrm{C}$ ， $\eta = 80\%$ 。
判断电路：家用电器并联在 $220$ 伏电路上，热水壶两端电压即为供电电压。
求电阻，选 $R = \dfrac{U_{\text{额}}^2}{P_{\text{额}}}$ ： $R = \dfrac{220^2}{1210} = 40\ \Omega$ 。
求实际功率，选 $P = \dfrac{U_{\text{实}}^2}{R}$ （因为电阻不变、电压已知）： $P_{\text{实}} = \dfrac{200^2}{40} = 1000\ \mathrm{W}$ 。
求水需吸收的热量，依据 $Q = cm\Delta t$ ： $Q_{\text{吸}} = 4.2 \times 10^{3} \times 1.5 \times 80 = 5.04 \times 10^{5}\ \mathrm{J}$ 。
求时间：消耗电能 $W = \dfrac{Q_{\text{吸}}}{\eta} = 6.3 \times 10^{5}\ \mathrm{J}$ ，由 $t = \dfrac{W}{P_{\text{实}}} = \dfrac{6.3 \times 10^{5}}{1000} = 630\ \mathrm{s} = 10.5\ \text{分}$ 。
检验合理性：电压降到 $200$ 伏后功率由 $1210$ 瓦降至 $1000$ 瓦（比值 $\left(\dfrac{200}{220}\right)^2 \approx 0.83$ ，与 $\dfrac{1000}{1210}$ 相符），烧水变慢，正是用电高峰「水开得慢」的原因。答： $40$ 欧、 $1000$ 瓦、 $630$ 秒。

生活应用题 2 · 空调一晚耗多少电、电流多大

一台空调铭牌标着「 $220\ \mathrm{V}\ \ 1100\ \mathrm{W}$ 」，每晚正常工作 $8$ 小时，其中压缩机实际运转时间约占 $60\%$ 。求这台空调一晚耗电多少度，以及运转时通过的电流。

分步解：

列已知量： $U = 220\ \mathrm{V}$ ， $P = 1100\ \mathrm{W} = 1.1\ \mathrm{kW}$ ， $t = 8\ \mathrm{h} \times 60\% = 4.8\ \mathrm{h}$ 。
求电流，选 $I = \dfrac{P}{U}$ （已知功率与额定电压）： $I = \dfrac{1100}{220} = 5\ \mathrm{A}$ 。
求耗电量，选 $W = Pt$ 且用千瓦与小时以直接得「度」： $W = 1.1 \times 4.8 = 5.28\ \mathrm{kW \cdot h}$ 。
检验合理性： $5$ 安的电流不算小，若与电热水壶（约 $6.8$ 安）同插一个插座，总电流近 $12$ 安，超过普通插座的 $10$ 安限值，会因 $Q = I^2Rt$ 而导线过热——这就是空调必须走专线的原因。一晚 $5.28$ 度电、约 $2.8$ 元，与实际电费相符。答：约 $5.28$ 度， $5$ 安。

考点

🎯考点提示

计算题·高频：由铭牌求电阻与额定电流，再求电压变化后的实际功率（平方关系）
计算题·高频：串联电路中灯与定值电阻的功率分配；并联电路中各支路功率之比
计算题·高频： $Q = I^2Rt$ 与 $Q = cm\Delta t$ 联立，含热效率的电热器综合题
选择题·高频：判断纯电阻与非纯电阻，选择正确的热量公式
实验题·高频：探究电热与电流、电阻的关系，串联控制电流、用煤油的原因；应用题：解释空调走专线、导线不发热而电热丝发热、用电高峰灯变暗

中考真题

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

标有「 $6\ \mathrm{V}\ \ 6\ \mathrm{W}$ 」和「 $6\ \mathrm{V}\ \ 3\ \mathrm{W}$ 」的两只小灯 $L_1$ 、 $L_2$ 串联后接在电源上（灯丝电阻不变）。则（　）A. $L_1$ 较亮　B. $L_2$ 较亮　C. 两灯一样亮　D. 无法判断

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第一步 · 求两灯电阻： $R_1 = \dfrac{6^2}{6} = 6\ \Omega$ ， $R_2 = \dfrac{6^2}{3} = 12\ \Omega$ 。注意：额定功率大的灯，电阻反而小。

第二步 · 判断电路并选公式：串联，电流相同，选 $P = I^2R$ ，功率与电阻成正比。第三步 · 比较： $R_2$ 大，故 $P_2$ 大， $L_2$ 更亮。第四步 · 检验： $P_2 : P_1 = 12 : 6 = 2 : 1$ ，与直觉「 $6$ 瓦的灯更亮」相反，正是本题的陷阱所在。

答案：B。记牢：串联比亮度看电阻大小，并联比亮度看额定功率。

真题2021 · 浙江中考（改编）

一台电热水器的电阻为 $44\ \Omega$ ，接在 $220\ \mathrm{V}$ 的电路中，工作 $10$ 分钟。求它产生的热量，以及这些热量能把多少千克水从 $20\ ^\circ\mathrm{C}$ 加热到 $70\ ^\circ\mathrm{C}$ （不计热损失）。

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第一步 · 列已知量： $R = 44\ \Omega$ ， $U = 220\ \mathrm{V}$ ， $t = 10\ \text{分} = 600\ \mathrm{s}$ ， $\Delta t = 50\ ^\circ\mathrm{C}$ ， $c = 4.2 \times 10^{3}\ \mathrm{J/(kg \cdot {}^\circ C)}$ 。判断类型：电热水器是纯电阻用电器，电能全部转化为内能，故 $Q = W$ 。

第二步 · 选公式求热量。已知电压与电阻，选 $Q = \dfrac{U^2}{R}t$ （若用 $Q = I^2Rt$ 需先求电流，多一步）： $Q = \dfrac{220^2}{44} \times 600 = 1100 \times 600 = 6.6 \times 10^{5}\ \mathrm{J}$ 。

第三步 · 求水的质量。不计损失则 $Q_{\text{吸}} = Q$ ，由 $Q = cm\Delta t$ 变形： $m = \dfrac{6.6 \times 10^{5}}{4.2 \times 10^{3} \times 50} \approx 3.1\ \mathrm{kg}$ 。第四步 · 检验单位与合理性：热水器功率 $1100$ 瓦，与家用小厨宝相符；十分钟能把三公斤水加热五十度，符合实际。答： $6.6 \times 10^{5}\ \mathrm{J}$ ，约 $3.1$ 千克。

视频讲解

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