水的浮力 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

两千多年前的叙拉古，阿基米德为了检验王冠是否掺假而跨进浴盆，水漫出盆沿的那一刻，他抓住的不只是「体积」，还有一个更深的规律：物体浸入液体后受到向上的托力，这个托力恰好等于它排开的那部分液体的重力。

这条规律叫阿基米德原理，它的威力在两千年后才完全展开。钢的密度是水的近八倍，可 20 万吨的巨轮能稳稳浮在海面上；潜水艇能在水下自由升降；一枚鸡蛋放进清水里下沉，往水里不停加盐，它会慢慢浮起来。所有这些，用一条公式就能算清楚。

杭州人天天与浮力打交道：西湖上的手划船坐几个人才安全？钱塘江上的运沙船满载时吃水线为什么明显下降？湘湖里的游泳圈能托住多重的人？密度计又是靠什么读出液体浓度的？这一节要把「为什么浮」和「浮多少」两件事都算明白。

知识讲解

浮力是什么

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浸在液体（或气体）中的物体，受到液体（气体）竖直向上托起的力，叫做浮力，用 $F_{\text{浮}}$ 表示。方向始终竖直向上；施力物体是液体，不是容器。

产生原因：液体内部压强随深度增大，物体下表面受到的向上压力大于上表面受到的向下压力，二者之差就是浮力，即 $F_{\text{浮}}=F_{\text{向上}}-F_{\text{向下}}$ 。

阿基米德原理

🔑

阿基米德原理：浸在液体中的物体受到向上的浮力，浮力的大小等于它排开的液体所受的重力。

$F_{\text{浮}}=G_{\text{排}}=\rho_{\text{液}}\,g\,V_{\text{排}}$

其中 $\rho_{\text{液}}$ 是液体密度（ $\mathrm{kg/m^3}$ ）， $g=9.8\ \mathrm{N/kg}$ （粗略计算取 $10\ \mathrm{N/kg}$ ）， $V_{\text{排}}$ 是排开液体的体积（ $\mathrm{m^3}$ ）。

⚖️公式里最容易错的两个量

浮力只与 $\rho_{\text{液}}$ 和 $V_{\text{排}}$ 有关：与物体自身密度、质量、形状、浸没深度都无关。物体全部浸没后继续下沉，浮力不变。
$V_{\text{排}}$ 不一定等于物体体积：全部浸没时 $V_{\text{排}}=V_{\text{物}}$ ；部分露出时 $V_{\text{排}}$ 只等于浸入液体那部分的体积，比物体体积小。

物体的浮沉条件

条件（力）	条件（密度）	运动状态
$F_{\text{浮}}$ 大于 $G$	$\rho_{\text{物}}$ 小于 $\rho_{\text{液}}$	上浮，最终漂浮
$F_{\text{浮}}=G$	$\rho_{\text{物}}=\rho_{\text{液}}$	悬浮在液体内部任意位置
$F_{\text{浮}}$ 小于 $G$	$\rho_{\text{物}}$ 大于 $\rho_{\text{液}}$	下沉，最终沉底

🔑

漂浮与悬浮都满足 $F_{\text{浮}}=G$ ，这是解题的黄金公式。区别在于：悬浮时物体全部浸没（ $V_{\text{排}}=V_{\text{物}}$ ），漂浮时有一部分露出液面（ $V_{\text{排}}$ 小于 $V_{\text{物}}$ ）。沉底时 $F_{\text{浮}}$ 小于 $G$ ，三力平衡为 $F_{\text{浮}}+F_{\text{支}}=G$ 。

求浮力的三种方法

称重法： $F_{\text{浮}}=G-F_{\text{示}}$ （空气中读数减浸入液体后读数），实验测浮力必用。
原理法： $F_{\text{浮}}=\rho_{\text{液}}gV_{\text{排}}$ ，已知液体密度和排开体积时最快。
平衡法：漂浮或悬浮时 $F_{\text{浮}}=G_{\text{物}}=m_{\text{物}}g$ ，只适用于漂浮和悬浮，沉底时不能用。

实验与探究

例探究浮力的大小与哪些因素有关

用弹簧测力计、圆柱形金属块、水、盐水和溢水杯，探究浮力大小的决定因素。

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步骤与现象：

测出金属块在空气中的重力 $G$ 。
让金属块逐渐浸入水中，记录测力计读数：浸入越多，读数越小，说明浮力变大——浮力随 $V_{\text{排}}$ 增大而增大。
金属块全部浸没后继续下降，读数不再变化，说明浮力与浸没深度无关。
换用密度更大的盐水，全部浸没时读数比在水中更小，说明浮力随 $\rho_{\text{液}}$ 增大而增大。
用溢水杯收集被排开的水并称出其重力，与 $G-F_{\text{示}}$ 比较，两者相等，验证了阿基米德原理。

结论： $F_{\text{浮}}$ 只由 $\rho_{\text{液}}$ 和 $V_{\text{排}}$ 决定。操作要点：溢水杯必须事先加水到溢口刚好不流，否则收集的水偏少，验证会失败；金属块浸入时不能碰到杯底或杯壁，否则读数受支持力干扰。

经典例题

例称重法求浮力、体积与密度

一金属块在空气中用弹簧测力计称得重力为 $2.7\ \mathrm{N}$ ，浸没在水中时测力计读数为 $1.7\ \mathrm{N}$ 。取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$ ， $\rho_{\text{水}}=1.0\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ 。求：（1）浮力；（2）金属块体积；（3）金属块密度。

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第一步：求浮力，依据称重法 $F_{\text{浮}}=G-F_{\text{示}}$ ： $F_{\text{浮}}=2.7-1.7=1.0\ \mathrm{N}$ ，单位牛（读数变小的那部分正是被浮力「托掉」的）。第二步：求排开水的体积，依据阿基米德原理变形 $V_{\text{排}}=\dfrac{F_{\text{浮}}}{\rho_{\text{水}}g}=\dfrac{1.0}{1.0\times10^3\times10}=1.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$ 。第三步：由「全部浸没」这一条件判定 $V_{\text{物}}=V_{\text{排}}=1.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}=100\ \mathrm{cm^3}$ ——这一步是关键，若物体只有一半浸入就不能这样写。

第四步：求质量，依据 $G=mg$ 变形得 $m=\dfrac{G}{g}=\dfrac{2.7}{10}=0.27\ \mathrm{kg}$ 。第五步：求密度，依据 $\rho=\dfrac{m}{V}$ ： $\rho=\dfrac{0.27}{1.0\times10^{-4}}=2.7\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ 。答：浮力 $1.0\ \mathrm{N}$ ，体积 $1.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$ ，密度 $2.7\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ （是铝）。这道题把三个公式串成一条链，是中考计算题的标准结构。

例漂浮的木块露出多少

一体积为 $500\ \mathrm{cm^3}$ 、密度为 $0.6\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ 的木块漂浮在水面上。取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$ ，求木块露出水面部分的体积。

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第一步：统一单位并求质量，依据 $m=\rho V$ 。 $V_{\text{物}}=500\ \mathrm{cm^3}=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}$ ，则 $m=0.6\times10^3\times5.0\times10^{-4}=0.3\ \mathrm{kg}$ 。第二步：求重力，依据 $G=mg$ ： $G=0.3\times10=3\ \mathrm{N}$ 。第三步：由漂浮条件 $F_{\text{浮}}=G$ 得 $F_{\text{浮}}=3\ \mathrm{N}$ （漂浮时不需要知道浸入多深）。

第四步：求排开水的体积： $V_{\text{排}}=\dfrac{F_{\text{浮}}}{\rho_{\text{水}}g}=\dfrac{3}{1.0\times10^3\times10}=3.0\times10^{-4}\ \mathrm{m^3}=300\ \mathrm{cm^3}$ 。第五步：求露出部分： $V_{\text{露}}=V_{\text{物}}-V_{\text{排}}=500-300=200\ \mathrm{cm^3}$ 。答：露出 $200\ \mathrm{cm^3}$ 。规律小结：漂浮时 $\dfrac{V_{\text{排}}}{V_{\text{物}}}=\dfrac{\rho_{\text{物}}}{\rho_{\text{液}}}$ ，本题为 $0.6$ ，即浸入六成、露出四成，记住这个比例式可以一步得答案。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

把 $V_{\text{排}}$ 当成物体体积：只有全部浸没时二者相等，漂浮时 $V_{\text{排}}$ 只算浸入部分。
认为浸得越深浮力越大：全部浸没后再下沉， $V_{\text{排}}$ 不变，浮力不变。
公式里代入物体密度： $F_{\text{浮}}=\rho_{\text{液}}gV_{\text{排}}$ 中必须用液体密度。
对沉底物体用 $F_{\text{浮}}=G$ ：沉底时浮力小于重力，还有容器底的支持力参与平衡。
忘记单位换算： $\mathrm{cm^3}$ 化成 $\mathrm{m^3}$ 要除以 $10^6$ ，否则结果差一百万倍。
把质量与重力混用： $G=mg$ ， $1\ \mathrm{kg}$ 的物体重约 $10\ \mathrm{N}$ ，单位写错等于没做。

生活中的应用

🌏生活中的应用

西湖手划船：船身宽而浅，排开水的体积大，浮力足以托起船和游客；超载时吃水加深，水面接近船舷就极其危险，这正是限载人数的由来。
钱塘江运沙船的吃水线：满载时船重增加，需要更大的 $V_{\text{排}}$ 才能平衡，船因此下沉、吃水变深。船舷上的载重线就是按 $F_{\text{浮}}=G$ 画出来的。
潜水艇升降：靠水舱进水或排水改变自身重力，而不是改变浮力（体积不变，浮力不变）。
密度计：漂浮时 $F_{\text{浮}}=G$ 恒定，液体密度越大浸入越浅，所以刻度上小下大。

生活应用题 1 · 西湖游船能坐几个人

一条西湖手划船船体总体积 $2.4\ \mathrm{m^3}$ ，空船质量 $300\ \mathrm{kg}$ 。安全规定要求浸入水中的体积不超过总体积的 $50\%$ 。若每位游客按 $60\ \mathrm{kg}$ 计，理论上最多载几人？（ $g=10\ \mathrm{N/kg}$ ）

分步解：

求允许的最大排水体积： $V_{\text{排}}=2.4\times50\%=1.2\ \mathrm{m^3}$ 。
求最大浮力，依据 $F_{\text{浮}}=\rho_{\text{水}}gV_{\text{排}}$ ： $F_{\text{浮}}=1.0\times10^3\times10\times1.2=1.2\times10^4\ \mathrm{N}$ 。
由漂浮条件换成总重力上限，依据 $F_{\text{浮}}=G_{\text{总}}$ ： $G_{\text{总}}$ 不超过 $1.2\times10^4\ \mathrm{N}$ 。
求总质量上限，依据 $m=\dfrac{G}{g}$ ： $m_{\text{总}}=\dfrac{1.2\times10^4}{10}=1200\ \mathrm{kg}$ 。
减去空船质量：可载人的质量 $=1200-300=900\ \mathrm{kg}$ ；求人数： $900\div60=15$ 人。
答：理论上 15 人。实际限载只有 6 至 8 人，因为还要为风浪和乘客走动留足安全余量——算出来的是上限，坐船要听工作人员的。

生活应用题 2 · 湘湖里的游泳圈

小杭用一个体积为 $1.5\times10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ 的游泳圈，圈本身质量 $0.5\ \mathrm{kg}$ 。若游泳圈全部浸没在水中，它除托起自身外还能托起多大的力？（ $g=10\ \mathrm{N/kg}$ ）

分步解：

求全部浸没时的浮力，依据 $F_{\text{浮}}=\rho_{\text{水}}gV_{\text{排}}$ ，此时 $V_{\text{排}}=1.5\times10^{-2}\ \mathrm{m^3}$ ： $F_{\text{浮}}=1.0\times10^3\times10\times1.5\times10^{-2}=150\ \mathrm{N}$ 。
求游泳圈自身重力，依据 $G=mg$ ： $G=0.5\times10=5\ \mathrm{N}$ 。
求额外托力，依据受力平衡： $F_{\text{额}}=F_{\text{浮}}-G=150-5=145\ \mathrm{N}$ 。
换算成可托起的质量，依据 $m=\dfrac{F}{g}$ ： $m=\dfrac{145}{10}=14.5\ \mathrm{kg}$ 。
答：约能额外托起 $145\ \mathrm{N}$ ，相当于 14.5 千克。人体密度接近水（约 $1.02\times10^3\ \mathrm{kg/m^3}$ ），在水中本身几乎「不重」，所以这个游泳圈足够让一个中学生的头部露出水面。

考点

🎯考点提示

实验题·必考：探究浮力与 $\rho_{\text{液}}$ 、 $V_{\text{排}}$ 、深度的关系；用溢水杯验证阿基米德原理
计算题·压轴：称重法求浮力，进而求体积与密度（三步连环）
计算题·高频：由漂浮条件 $F_{\text{浮}}=G$ 求排开体积、露出体积、载重量
选择题：判断浮力如何变化（全部浸没后下沉、加盐、换液体）
应用题：密度计刻度、鸡蛋加盐上浮、船的吃水线；浮力产生的原因（上下表面压力差）与潜水艇升降原理

中考真题

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

把一个鸡蛋放入盛有清水的杯中，鸡蛋沉底。往杯中不断加盐并搅拌，鸡蛋最终浮起。下列分析正确的是（　）A. 加盐过程中鸡蛋受到的浮力一直不变　B. 鸡蛋上浮时浮力大于重力　C. 鸡蛋漂浮后浮力大于重力　D. 鸡蛋的密度变小了

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逐项分析：

A 错：加盐使 $\rho_{\text{液}}$ 增大，鸡蛋浸没时 $V_{\text{排}}$ 不变，由 $F_{\text{浮}}=\rho_{\text{液}}gV_{\text{排}}$ 知浮力变大。
B 对：能上浮说明合力向上，即 $F_{\text{浮}}$ 大于 $G$ 。
C 错：漂浮时 $F_{\text{浮}}=G$ ，二者相等。
D 错：变的是盐水密度，鸡蛋本身密度基本不变。

答案：B。

真题2021 · 浙江中考（改编）

一艘运沙船空载时排开水的体积为 $20\ \mathrm{m^3}$ ，满载沙子后排开水的体积为 $60\ \mathrm{m^3}$ 。取 $g=10\ \mathrm{N/kg}$ 。求：（1）空船质量；（2）能装载沙子的最大质量。

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第一步：求空载时的浮力，依据 $F_{\text{浮}}=\rho_{\text{水}}gV_{\text{排}}$ ： $F_1=1.0\times10^3\times10\times20=2\times10^5\ \mathrm{N}$ 。第二步：船漂浮，依据 $F_{\text{浮}}=G$ 得空船重力 $G_1=2\times10^5\ \mathrm{N}$ ；再由 $m=\dfrac{G}{g}$ 得 $m_1=2\times10^4\ \mathrm{kg}=20\ \mathrm{t}$ 。

第三步：求满载时的浮力： $F_2=1.0\times10^3\times10\times60=6\times10^5\ \mathrm{N}$ ，满载总重 $G_2=6\times10^5\ \mathrm{N}$ ，总质量 $m_2=6\times10^4\ \mathrm{kg}=60\ \mathrm{t}$ 。第四步：求载沙质量： $m_{\text{沙}}=m_2-m_1=60-20=40\ \mathrm{t}$ 。答：空船 $20$ 吨，最多载沙 $40$ 吨。思路提炼：轮船问题只有一句话——船始终漂浮，浮力永远等于总重力， $V_{\text{排}}$ 的变化量直接对应载货量。

视频讲解

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