物质的密度

• 鉴别真假黄金：测出密度并与 $19.3\ \text{g/cm}^3$ 比较，明显偏小就掺了别的金属，这正是阿基米德的老办法。
• 西湖冬天的薄冰浮在水面：冰的密度小于水，所以浮着；也正因如此，湖底的鱼在结冰的冬天仍能存活。
• 建筑选材：同样体积的花岗岩比砖重得多，高层建筑常用密度较小的空心砖、加气混凝土减轻自重。
• 钱塘江上的货轮：钢的密度远大于水，但船做成中空的，整体平均密度小于水，所以能浮起来。

生活应用题 1 · 一节水管里的杭州自来水有多重

杭州某住宅楼一根竖直水管内径的横截面积为 $20\ \text{cm}^2$，管内充满自来水，这段水管长 30 米。自来水密度可近似取 $1.0 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$。管内水的质量是多少千克？

分步解：

1. 统一单位：横截面积 $S = 20\ \text{cm}^2 = 20 \times 10^{-4}\ \text{m}^2 = 2 \times 10^{-3}\ \text{m}^2$；长度 $L = 30\ \text{m}$。
2. 求体积，依据柱体体积等于底面积乘高：$V = S L = 2 \times 10^{-3} \times 30 = 6 \times 10^{-2}\ \text{m}^3$。
3. 求质量，依据 $m = \rho V$：$m = 1.0 \times 10^{3} \times 6 \times 10^{-2} = 60\ \text{kg}$。
4. 答：约 60 千克。这也解释了为什么给高层供水的立管必须用支架牢牢固定——单是水的重量就相当于一个成年人。

生活应用题 2 · 亚运场馆的花岗岩幕墙板

一块用于亚运场馆外墙的花岗岩板，长 1.2 米、宽 0.8 米、厚 3 厘米。花岗岩密度取 $2.6 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$。这块板质量多少千克？若改用密度为 $1.8 \times 10^{3}\ \text{kg/m}^3$ 的人造石材、尺寸不变，能减轻多少千克？

分步解：

1. 统一单位并求体积：厚度 $3\ \text{cm} = 0.03\ \text{m}$，则 $V = 1.2 \times 0.8 \times 0.03 = 0.0288\ \text{m}^3$。
2. 求花岗岩板质量，依据 $m = \rho V$：$m_1 = 2.6 \times 10^{3} \times 0.0288 = 74.88\ \text{kg}$。
3. 求人造石材质量：$m_2 = 1.8 \times 10^{3} \times 0.0288 = 51.84\ \text{kg}$。
4. 求差值：$\Delta m = 74.88 - 51.84 = 23.04\ \text{kg}$。
5. 答：花岗岩板约 74.9 千克，换用人造石材可减轻约 23 千克，减轻了约 $31\%$。这就是高层建筑偏爱低密度材料的原因：体积相同时，密度小则自重轻，结构负担和造价都下降。