一元二次方程 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

四千年前的古巴比伦泥板上刻着这样的问题："一块正方形田地的面积减去边长等于 870，边长是多少？"设边长为 $x$ ，这就是 $x^2 - x = 870$ ——历史上最早的一元二次方程之一。

为什么会冒出"平方"？因为人类要算面积（长×宽）、算利滚利（本金×利率×利率）、算抛出去的石头飞多高。凡是"两个相关的量相乘"的问题，未知数就会平方。

我国《九章算术》里也有大量二次方程问题。到了公元 9 世纪，波斯数学家花拉子米写了一本专门解方程的书，书名的拉丁文音译"Algebra"后来成了"代数"这个学科的名字。可以说，一元二次方程是打开代数世界的第一把钥匙。

知识讲解

什么是一元二次方程

🔑

只含一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫一元二次方程。一般形式： $ax^2 + bx + c = 0\ (a \ne 0)$ 。注意 $a \ne 0$ 是"身份证"， $a = 0$ 就退化成一次方程了。

四种解法

解法	适用情形	示例
直接开平方	$x^2 = k$ 或 $(x+m)^2 = k$	$(x-1)^2 = 9 \Rightarrow x = 4$ 或 $-2$
因式分解法	能分解成两个因式乘积	$x^2 - 3x = 0 \Rightarrow x(x-3) = 0$
配方法	万能，但步骤多	把 $x^2+6x+1=0$ 配成 $(x+3)^2=8$
公式法	万能，直接套	$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

选择策略：先看能不能因式分解（最快），不行就上公式法；配方法主要用于推导和二次函数变形。

判别式：方程的"体检报告"

记 $\Delta = b^2 - 4ac$ ：

$\Delta > 0$ ：两个不相等的实数根
$\Delta = 0$ ：两个相等的实数根
$\Delta < 0$ ：没有实数根

根与系数的关系（韦达定理）

若两根为 $x_1, x_2$ ，则：

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

不解方程就能知道两根之和与积，中考选填的常客。

经典例题

例因式分解法

解方程： $x^2 - 5x + 6 = 0$

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找两个数，乘积为 6、和为 5：是 2 和 3。

$(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x_1 = 2,\ x_2 = 3$

例公式法

解方程： $2x^2 - 4x - 1 = 0$

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$a=2,\ b=-4,\ c=-1$ ， $\Delta = (-4)^2 - 4 \times 2 \times (-1) = 16 + 8 = 24 > 0$ 。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{6}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{6}}{2}$

提醒： $\sqrt{24}$ 要化简为 $2\sqrt{6}$ ，最后结果要约分。

例增长率问题（中考经典）

某网店一月份营业额为 10000 元，三月份增长到 12100 元。若每月增长率相同，求月平均增长率。

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设月增长率为 $x$ ，两个月连续增长：

$10000(1+x)^2 = 12100 \Rightarrow (1+x)^2 = 1.21 \Rightarrow 1+x = \pm 1.1$

得 $x = 0.1$ 或 $x = -2.1$ （负数不合题意，舍去）。

月平均增长率为 10%。增长率模型： $a(1+x)^n = b$ ， $n$ 是增长次数。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

两边同除以含 $x$ 的式子导致丢根：解 $x^2 = 3x$ 时两边除以 $x$ 得 $x=3$ ，丢了 $x=0$ ！正确做法是移项后因式分解。
忘记 $a \ne 0$ ：含参数的方程"是一元二次方程"时，必须补上二次项系数不为零的条件。
公式法代入符号错： $b = -4$ 时， $-b = 4$ 、 $b^2 = 16$ ，负号是最大杀手，建议先写出 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 再代入。
实际问题忘记验根：增长率、边长、人数不能为负，解出来必须检验并"舍去"不合理的根。
判别式用错方向："有实数根"是 $\Delta \ge 0$ （包含等号），"有两个不相等实数根"才是 $\Delta > 0$ 。

生活中的应用

🌏生活中的应用

增长率：营业额、产量、旅游人数的"连续两期增长"问题。
围栏问题：用固定长度的篱笆围出指定面积的菜地，求边长。
传播问题：一人传染给若干人，两轮后共多少人感染。
抛物运动：投篮、喷泉水柱的高度随时间的变化，本质上都要解二次方程。

生活应用题 1 · 灵隐寺旁奶茶店的增长率

灵隐寺附近一家奶茶店，9 月份营业额为 5 万元，随着秋季游客增多，11 月份营业额增长到 7.2 万元。若每月增长率相同，求月平均增长率。

分步解：

设月平均增长率为 $x$ ，从 9 月到 11 月连续增长了 2 个月。
列方程： $5(1+x)^2 = 7.2$ 。
两边除以 5： $(1+x)^2 = 1.44$ 。
直接开平方： $1+x = \pm 1.2$ ，得 $x = 0.2$ 或 $x = -2.2$ 。
验根：增长率不能为负且 $-2.2$ 会使营业额为负，舍去 $x = -2.2$ 。
验算： $5 \times 1.2 \times 1.2 = 7.2$ （万元）✅。月平均增长率为 20%。

生活应用题 2 · 阳台边的篱笆菜园

小杭家在余杭的院子里靠一面墙围一块长方形菜地（墙足够长，靠墙的一边不用篱笆），篱笆总长 22 米，想让菜地面积恰好是 60 平方米。垂直于墙的边应设计为多少米？

分步解：

设垂直于墙的边长为 $x$ 米，则平行于墙的边长为 $(22 - 2x)$ 米。
列方程： $x(22 - 2x) = 60$ 。
展开整理： $22x - 2x^2 = 60$ ，即 $x^2 - 11x + 30 = 0$ 。
因式分解： $(x-5)(x-6) = 0$ ，得 $x = 5$ 或 $x = 6$ 。
验根： $x=5$ 时平行边为 $22-10=12$ 米； $x=6$ 时平行边为 $22-12=10$ 米，均为正数，都合理。
验算： $5 \times 12 = 60$ ✅， $6 \times 10 = 60$ ✅。垂直于墙的边为 5 米或 6 米。

生活应用题 3 · 河坊街龙井茶的定价

河坊街一家茶叶店销售龙井茶，进价每盒 40 元。售价定为每盒 60 元时，每天可卖出 100 盒；售价每降低 1 元，每天可多卖出 10 盒。若想让每天的利润达到 2240 元，售价应定为多少？

分步解：

设售价降低 $x$ 元，则每盒利润为 $(60 - 40 - x) = (20 - x)$ 元，每天销量为 $(100 + 10x)$ 盒。
列方程： $(20 - x)(100 + 10x) = 2240$ 。
展开： $2000 + 200x - 100x - 10x^2 = 2240$ ，整理得 $10x^2 - 100x + 240 = 0$ 。
两边除以 10： $x^2 - 10x + 24 = 0$ ，因式分解 $(x-4)(x-6)=0$ ，得 $x = 4$ 或 $x = 6$ 。
验根：两个解都使利润和销量为正，均合理，对应售价 $60-4=56$ 元或 $60-6=54$ 元。
验算： $(20-4)(100+40) = 16 \times 140 = 2240$ ✅； $(20-6)(100+60) = 14 \times 160 = 2240$ ✅。售价定为 56 元或 54 元。

考点

🎯考点提示

解方程：四种解法的选择与运用（必考计算题）
判别式：判断根的情况、由根的情况求参数范围
韦达定理：求两根之和/积、构造对称式求值
应用题：增长率、面积、传播、销售利润（杭州中考解答题高频）
与二次函数图象交点个数的联动（为九年级铺路）

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

设一元二次方程 $x^2 + bx + c = 0$ 。已知方程的两根为 1 和 3，求 $b$ 、 $c$ 的值。

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由韦达定理： $x_1 + x_2 = -b = 1 + 3 = 4$ ，所以 $b = -4$ ；

$x_1 \cdot x_2 = c = 1 \times 3 = 3$ ，所以 $c = 3$ 。

也可以把 $x=1$ 、 $x=3$ 分别代入方程联立求解，结果相同。

真题2022 · 浙江中考（改编）

某超市销售一种商品，进价每件 30 元。当售价每件 40 元时，每天可售出 48 件；售价每提高 1 元，每天少售出 4 件。若要使每天利润达到 480 元，售价应定为多少？

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设售价提高 $x$ 元，则每件利润 $(10+x)$ 元，销量 $(48-4x)$ 件：

$(10+x)(48-4x) = 480$

展开： $480 - 40x + 48x - 4x^2 = 480 \Rightarrow 8x - 4x^2 = 0 \Rightarrow 4x(2 - x) = 0$

得 $x = 0$ 或 $x = 2$ ，即售价定为 40 元或 42 元。

提醒：两个解都符合实际时要都保留，别习惯性舍去。

视频讲解

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