函数与几何综合题

求交点：联立 $x + 2 = \dfrac{3}{x}$，得 $x^2 + 2x - 3 = 0$，$(x+3)(x-1) = 0$，所以 $A(1, 3)$，$B(-3, -1)$。

求面积：设直线交 $y$ 轴于 $C(0, 2)$，以 $OC = 2$ 为公共底，把 $\triangle AOB$ 分成 $\triangle OCA$ 与 $\triangle OCB$：

$S = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 \times 3 = 4$

（两个三角形的"高"分别是 $A$、$B$ 到 $y$ 轴的距离 1 和 3。）斜三角形面积，用坐标轴上的线段作底来"割"，是最省事的套路。

求直线 BC：过 $B(3,0)$、$C(0,3)$，解析式为 $y = -x + 3$。设动点：设 $P(t, -t^2 + 2t + 3)$，$0 < t < 3$，过 $P$ 作竖直线交 $BC$ 于 $Q(t, -t + 3)$，则铅垂高 $PQ = (-t^2 + 2t + 3) - (-t + 3) = -t^2 + 3t$。

面积（水平宽为 $B$、$C$ 横坐标之差 3）：

$S = \frac{1}{2} \times 3 \times (-t^2 + 3t) = -\frac{3}{2}\left(t - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{27}{8}$

当 $t = \dfrac{3}{2}$ 时，$S$ 最大为 $\dfrac{27}{8}$。方法总结："铅垂法"是抛物线面积最值的万能钥匙：面积 $= \dfrac{1}{2} \times$ 水平宽 $\times$ 铅垂高。

设 $M(0, m)$。分三类讨论哪两边相等：

① $MA = MB$：需 $\sqrt{1 + m^2} = \sqrt{9 + m^2}$，无解，舍。

② $AM = AB = 4$：$\sqrt{1 + m^2} = 4$，$m = \pm\sqrt{15}$。

③ $BM = AB = 4$：$\sqrt{9 + m^2} = 4$，$m = \pm\sqrt{7}$。

所以存在 4 个点：$M(0, \sqrt{15})$、$(0, -\sqrt{15})$、$(0, \sqrt{7})$、$(0, -\sqrt{7})$。检验：各情形三点均不共线，全部保留。分类讨论 + 逐类检验，一类都不能漏。