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🔢 初中数学九年级下函数与几何中考高频几何核心相似模型

相似三角形

不爬上金字塔，古希腊人泰勒斯只靠一根木棍的影子就算出了塔高。放大缩小而形状不变——相似三角形是几何测量与中考压轴题的核心工具。

难度：★★★★★

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

两千六百年前，古希腊学者泰勒斯游历埃及，法老问他：谁能测出大金字塔的高度？泰勒斯在塔旁竖起一根木棍，等到木棍影长恰好等于棍长的那一刻，他说：此时塔的影长就是塔的高度。

放大照片、缩印文件、地图与实际地形……"形状相同、大小可以不同"的图形随处可见。数学把这种关系叫做相似，而相似三角形正是用"够得着的小三角形"去测量"够不着的大目标"的利器，也是中考几何压轴题绕不开的主角。

知识讲解

相似三角形的定义与性质

🔑

对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，记作 △ABC∼△A′B′C′\triangle ABC \sim \triangle A'B'C'。对应边的比叫做相似比 kk。

相似三角形的重要性质：对应角相等，对应边、对应中线、对应高、对应角平分线的比都等于相似比 kk；周长比等于相似比 kk；面积比等于相似比的平方 k2k^2（这是最容易记错的一条）。

相似的三种判定方法

  1. 两角对应相等（AA）：两角分别相等的两个三角形相似——最常用；
  2. 两边成比例且夹角相等（SAS 型）：注意必须是夹角；
  3. 三边对应成比例（SSS 型）。此外，"平行于三角形一边的直线截其他两边，所截得的三角形与原三角形相似"。

中考常见相似基本模型

模型特征关键结论
A 字型DE∥BCDE \parallel BC，DD、EE 在两边上△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC
8 字型（X 型）AB∥CDAB \parallel CD，对顶角相连△AOB∼△DOC\triangle AOB \sim \triangle DOC
母子型（射影定理型）直角三角形斜边上的高△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA，AB2=BD⋅BCAB^2 = BD \cdot BC
一线三等角（K 型）一条直线上三个等角两侧三角形相似

一线三等角是杭州卷压轴题的高频模型：若 ∠1=∠2=∠3\angle 1 = \angle 2 = \angle 3，利用"等角 + 外角"倒角即可证两侧三角形相似。

经典例题

例 A 字型求线段长

在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD、EE 分别在边 ABAB、ACAC 上，且 DE∥BCDE \parallel BC。已知 AD=4AD = 4，DB=2DB = 2，BC=9BC = 9，求 DEDE 的长。

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因为 DE∥BCDE \parallel BC，所以 △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC（A 字型）。

相似比 =ADAB=44+2=23= \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{4}{4+2} = \dfrac{2}{3}。

DE=BC×23=9×23=6DE = BC \times \frac{2}{3} = 9 \times \frac{2}{3} = 6

注意：相似比是 ADAB\dfrac{AD}{AB} 而不是 ADDB\dfrac{AD}{DB}，别把"上比全"写成"上比下"。

例 判定相似并求边（SAS 型）

在 △ABC\triangle ABC 和 △DEF\triangle DEF 中，∠A=∠D=60°\angle A = \angle D = 60°，AB=6AB = 6，AC=4AC = 4，DE=3DE = 3，DF=2DF = 2。判断两个三角形是否相似；若相似，求出相似比。

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逐个判断：ABDE=63=2\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{6}{3} = 2，ACDF=42=2\dfrac{AC}{DF} = \dfrac{4}{2} = 2。

两边成比例且夹角 ∠A=∠D\angle A = \angle D，所以 △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF（SAS 型），相似比为 2。由此还可知：周长比为 2，面积比为 22=42^2 = 4。

例 面积比与相似比（易错）

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF，相似比为 2:32:3，且 △ABC\triangle ABC 的面积为 8。求 △DEF\triangle DEF 的面积。

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面积比等于相似比的平方：S△ABCS△DEF=(23)2=49\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle DEF}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}。

所以 S△DEF=8×94=18S_{\triangle DEF} = 8 \times \dfrac{9}{4} = 18。

易错：误用面积比 =2:3= 2:3 得 12——相似比与面积比一定要区分清楚。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点
  1. 对应关系找错：相似符号中字母顺序表示对应关系，△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF 中 ABAB 对应 DEDE，写比例式前先"对好号"。
  2. 面积比与相似比混淆：面积比 =k2= k^2，周长比 =k= k，反过来由面积比求相似比要开方。
  3. SAS 型忘记"夹角"：两边成比例、一角相等但该角不是夹角时，不能判定相似（类比全等中"SSA 不成立"）。
  4. 没有对应关系时漏分类讨论：题目只说"两三角形相似"而未写对应顺序时，可能有多种对应方式，动点题中尤其常见。

生活中的应用

🌏生活中的应用
  • 测量不可到达的高度：泰勒斯测金字塔、用标杆和影长测旗杆高、用镜面反射测楼高，全是相似三角形。
  • 地图比例尺：地图与实际地形是相似图形，比例尺就是相似比。

生活应用题 · 用影长测雷峰塔的高度

某个晴天的下午，身高 1.6 米的小杭站在雷峰塔旁的空地上，测得自己的影长为 2 米，同一时刻测得雷峰塔的影长为 89.5 米。求雷峰塔的高度。

分步解：

  1. 同一时刻阳光方向相同，人与影子、塔与影子构成两个相似的直角三角形。
  2. 列比例：塔高1.6=89.52\dfrac{塔高}{1.6} = \dfrac{89.5}{2}。
  3. 塔高 =1.6×89.52=71.6= \dfrac{1.6 \times 89.5}{2} = 71.6（米）。
  4. 雷峰塔高约 71.6 米，与实际高度基本吻合。

考点

🎯考点提示
  • 基础：相似的判定（AA 最常考）与性质、比例线段计算
  • 必考：相似比、周长比、面积比之间的换算
  • 模型：A 字型、8 字型、母子型、一线三等角，是几何综合题的"骨架"
  • 压轴：相似与二次函数、圆、动点结合，存在性问题常需按对应关系分类讨论

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

如图，在 △ABC\triangle ABC 中，点 DD、EE 分别在 ABAB、ACAC 上，∠AED=∠B\angle AED = \angle B。若 AD=3AD = 3，AB=8AB = 8，AC=6AC = 6，求 AEAE 的长。

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在 △AED\triangle AED 和 △ABC\triangle ABC 中：∠AED=∠B\angle AED = \angle B，∠A\angle A 为公共角，所以 △AED∼△ABC\triangle AED \sim \triangle ABC（两角对应相等）。

注意对应关系：AEAE 对应 ABAB，ADAD 对应 ACAC，

AEAB=ADAC，AE8=36，AE=4\frac{AE}{AB} = \frac{AD}{AC}，\quad \frac{AE}{8} = \frac{3}{6}，\quad AE = 4

易错：这是"反 A 字型"（母子相似），对应边不是 AEAC\dfrac{AE}{AC}，抄错对应关系是本题最大陷阱。

真题2021 · 浙江杭州中考（改编）

如图，在直角坐标系中，已知 △OAB\triangle OAB 三个顶点为 O(0,0)O(0,0)、A(4,0)A(4,0)、B(2,3)B(2,3)。以原点 OO 为位似中心，在第一象限内把 △OAB\triangle OAB 按相似比 2:12:1 放大得到 △OA′B′\triangle OA'B'。求点 A′A'、B′B' 的坐标。

✏️ 点击查看解答

以原点为位似中心、相似比为 kk 的位似变换，各点坐标变为原来的 kk 倍（同侧放大取正号）：

A′(4×2, 0×2)=(8,0)，B′(2×2, 3×2)=(4,6)A'(4 \times 2,\ 0 \times 2) = (8, 0)，\qquad B'(2 \times 2,\ 3 \times 2) = (4, 6)

若题目未限定象限，还需考虑反向位似（坐标乘 −2-2）的情况，注意审题是否要求分类。

视频讲解

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