反比例函数 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

你一定有过这样的体验：从学校到家的路程是固定的，走路要 30 分钟，骑车只要 10 分钟，坐公交可能 6 分钟——速度越快，时间越短，但"速度 × 时间"始终等于那段固定的路程。

这种"两个量的乘积保持不变"的关系，就是反比例关系。用函数的语言描述它，就得到了反比例函数——它的图象不再是直线或抛物线，而是一对遥遥相望、永不相交坐标轴的双曲线。

知识讲解

反比例函数的定义

🔑

形如 $y = \dfrac{k}{x}$ （ $k$ 为常数， $k \neq 0$ ）的函数叫做反比例函数。自变量 $x$ 的取值范围是 $x \neq 0$ 。它也可以写成 $xy = k$ 或 $y = kx^{-1}$ 的形式。

判断一个函数是不是反比例函数，就看能否化成 $xy = k$ （ $k$ 为非零常数）的形式。例如 $y = \dfrac{3}{2x}$ 是反比例函数（ $k = \dfrac{3}{2}$ ），而 $y = \dfrac{1}{x+2}$ 不是。

图象与性质

反比例函数的图象是双曲线，分布情况由 $k$ 的符号决定：

	$k > 0$	$k < 0$
图象位置	第一、三象限	第二、四象限
增减性	在每个象限内， $y$ 随 $x$ 增大而减小	在每个象限内， $y$ 随 $x$ 增大而增大
对称性	关于原点成中心对称，关于直线 $y = x$ 、 $y = -x$ 成轴对称	同左

特别提醒：增减性必须加上"在每个象限内"这个前提！因为双曲线的两支是断开的，不能笼统地说" $y$ 随 $x$ 增大而减小"。

k 的几何意义

🔑

过双曲线 $y = \dfrac{k}{x}$ 上任意一点 $P$ 作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积恒等于 $|k|$ ；连接 $OP$ 后，垂线段、 $OP$ 与坐标轴围成的直角三角形面积恒等于 $\dfrac{|k|}{2}$ 。

经典例题

例求解析式与判断点

已知反比例函数的图象经过点 $A(2, -3)$ 。（1）求函数解析式；（2）判断点 $B(-1, 6)$ 是否在这个函数图象上。

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（1）设 $y = \dfrac{k}{x}$ ，把 $A(2, -3)$ 代入： $-3 = \dfrac{k}{2}$ ，解得 $k = -6$ 。

所以解析式为 $y = -\dfrac{6}{x}$ 。

（2）当 $x = -1$ 时， $y = \dfrac{-6}{-1} = 6$ ，与点 $B$ 的纵坐标相同，所以点 $B$ 在图象上。

例利用 k 的几何意义求面积

如图，点 $P$ 是双曲线 $y = \dfrac{4}{x}$ （ $x > 0$ ）上一点，过 $P$ 作 $PA \perp x$ 轴于点 $A$ ，连接 $OP$ 。求 $\triangle OPA$ 的面积。

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设 $P\left(a, \dfrac{4}{a}\right)$ （ $a > 0$ ），则 $OA = a$ ， $PA = \dfrac{4}{a}$ 。

$S_{\triangle OPA} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot PA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{4}{a} = 2$

即三角形面积恒等于 $\dfrac{|k|}{2} = 2$ ，与点 $P$ 的位置无关。

例反比例函数与一次函数交点比大小

已知一次函数 $y = x + 1$ 与反比例函数 $y = \dfrac{2}{x}$ 的图象交于 $A(1, 2)$ 和 $B(-2, -1)$ 两点。观察图象，当一次函数的值大于反比例函数的值时，求 $x$ 的取值范围。

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"一次函数的值大于反比例函数的值"就是直线在双曲线上方的部分。

结合图象分段观察：在 $-2 < x < 0$ 时，直线位于双曲线上方；在 $x > 1$ 时，直线也位于双曲线上方。

所以 $x$ 的取值范围是 $-2 < x < 0$ 或 $x > 1$ 。

注意： $x = 0$ 处反比例函数无意义，必须把 $x = 0$ 挖掉，这是最容易丢分的细节。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

增减性漏说"在每个象限内"：双曲线两支断开，如 $k > 0$ 时取 $x = -1$ 得 $y = -k < 0$ ，取 $x = 1$ 得 $y = k > 0$ ， $x$ 增大 $y$ 反而增大了，所以必须分象限叙述。
比较函数值大小不看象限：已知双曲线上两点比较纵坐标，若两点在不同象限，直接用增减性会出错，应先判断正负。
$k$ 的几何意义忘记加绝对值：面积是 $|k|$ 而不是 $k$ ，当 $k < 0$ 时尤其要小心。
忽略自变量范围：实际问题中 $x$ 往往只能取正数，写解析式时要注明 $x > 0$ 。

生活中的应用

🌏生活中的应用

杠杆原理：阻力和阻力臂一定时，动力 $F$ 与动力臂 $l$ 成反比例（ $Fl =$ 定值），所以撬石头时手握得越靠外越省力。
电学：电压一定时，电流 $I$ 与电阻 $R$ 成反比例，即 $I = \dfrac{U}{R}$ ，这是物理欧姆定律的数学模型。

生活应用题 · 京杭大运河货船的速度与时间

一艘货船从杭州拱宸桥码头出发沿运河北上，全程 120 千米。设船速为 $v$ 千米/时，所需时间为 $t$ 小时。（1）写出 $t$ 关于 $v$ 的函数解析式；（2）若要求 6 小时内到达，船速至少是多少？

分步解：

路程一定， $vt = 120$ ，所以 $t = \dfrac{120}{v}$ （ $v > 0$ ），是反比例函数。
要求 $t \leq 6$ ，即 $\dfrac{120}{v} \leq 6$ ，因为 $v > 0$ ，解得 $v \geq 20$ 。
船速至少为 20 千米/时。

考点

🎯考点提示

基础：反比例函数的概念、待定系数法求解析式、判断点是否在图象上
性质：图象所在象限、增减性（注意"在每个象限内"）、对称性
核心： $k$ 的几何意义求面积，或由面积反求 $k$ （杭州卷高频）
综合：反比例函数与一次函数的交点问题、比较大小（数形结合）

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

在直角坐标系中，已知点 $A(2, m)$ 在反比例函数 $y = \dfrac{6}{x}$ 的图象上，点 $A$ 关于原点的对称点为 $B$ 。（1）求 $m$ 的值及点 $B$ 的坐标；（2）判断点 $B$ 是否也在该反比例函数的图象上，并说明理由。

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（1）把 $x = 2$ 代入： $m = \dfrac{6}{2} = 3$ ，所以 $A(2, 3)$ ，关于原点对称的点 $B(-2, -3)$ 。

（2）当 $x = -2$ 时， $y = \dfrac{6}{-2} = -3$ ，与 $B$ 的纵坐标相同，所以点 $B$ 在图象上——这正体现了双曲线关于原点成中心对称的性质。

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

如图，点 $P$ 在反比例函数 $y = \dfrac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上，过 $P$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，垂足为 $A$ 、 $B$ ，矩形 $OAPB$ 的面积为 5。求 $k$ 的值。

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由 $k$ 的几何意义，矩形 $OAPB$ 的面积 $= |k| = 5$ 。

因为图象在第一象限（ $x > 0$ ， $y > 0$ ），所以 $k > 0$ ，故 $k = 5$ 。

易错：不判断象限直接写 $k = \pm 5$ 会被扣分——必须结合图象所在象限确定符号。

视频讲解

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