🌱知了学堂
🔢 初中数学九年级上概率中考高频统计与概率

概率初步

抽奖能不能中、明天会不会下雨、摸球摸到红还是白——生活充满不确定性，而概率就是给"不确定"定量打分的数学。

难度：★★★★★

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

十七世纪，法国贵族德·梅雷沉迷赌博，他向数学家帕斯卡请教："赌局中途被迫停止，赌金该怎么分才公平？"帕斯卡与费马通过书信讨论这个问题，一门崭新的数学分支——概率论就此诞生。

今天，概率早已走出赌桌：天气预报说"明天降水概率 70%70\%"，保险公司靠概率定保费，医院用概率评估手术风险。掷一枚硬币，落地前谁也不知道是正是反，但掷一万次，正面朝上的次数总是稳定在一半左右——偶然背后藏着必然，这正是概率要研究的规律。

知识讲解

三类事件

在一定条件下，必然事件一定发生（如"太阳从东方升起"），不可能事件一定不发生（如"掷骰子掷出 7 点"），随机事件可能发生也可能不发生（如"掷骰子掷出 6 点"）。

概率的定义与计算

🔑

一般地，如果一次试验共有 nn 种等可能的结果，事件 AA 包含其中的 mm 种结果，那么事件 AA 发生的概率为 P(A)=mnP(A) = \dfrac{m}{n}。必然事件概率为 1，不可能事件概率为 0，随机事件的概率满足 0<P(A)<10 \lt P(A) \lt 1。

例如掷一枚质地均匀的骰子，共 6 种等可能结果，"掷出偶数点"包含 2、4、6 三种，故概率为 36=12\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}。

列表法与树状图法

一次试验涉及两步（或两个因素）时，用列表法列出所有等可能结果；涉及两步以上时，用树状图法更清晰。两种方法的本质相同：不重不漏地列举全部等可能结果。

🔑

求概率三步走：① 列举所有等可能结果，求出 nn；② 数出事件 AA 包含的结果数 mm；③ 代入 P(A)=mnP(A) = \dfrac{m}{n}。关键在"等可能"与"不重不漏"。

用频率估计概率

试验次数很大时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为概率的估计值。对于"图钉落地钉尖朝上"这类结果不等可能的试验，只能用大量重复试验的频率来估计概率。

经典例题

例 摸球求概率

一个不透明的袋子里装有 3 个红球和 2 个白球，除颜色外完全相同。搅匀后从中随机摸出 1 个球，求摸到红球的概率。

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共 3+2=53 + 2 = 5 个球，每个球被摸到的可能性相等，n=5n = 5；红球有 3 个，m=3m = 3，所以 P(摸到红球)=35P(\text{摸到红球}) = \dfrac{3}{5}。

例 列表法：两次掷骰子

同时掷两枚质地均匀的骰子，求两枚骰子点数之和为 8 的概率。

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用列表法：第一枚有 6 种结果，第二枚有 6 种结果，共 6×6=366 \times 6 = 36 种等可能结果；点数之和为 8 的有：(2,6)(2,6)、(3,5)(3,5)、(4,4)(4,4)、(5,3)(5,3)、(6,2)(6,2)，共 5 种。

P(和为 8)=536P(\text{和为 } 8) = \frac{5}{36}

注意：(3,5)(3,5) 和 (5,3)(5,3) 是两种不同结果，不能合并，否则结果就不等可能了。

例 树状图法：先后摸两球

袋中有 2 个红球（记作红 1、红 2）和 1 个白球，从中摸出 1 个球不放回，再摸出 1 个球。求两次都摸到红球的概率。

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画树状图：第一次有红 1、红 2、白 3 种结果；第一次摸走后剩 2 个球，第二次各有 2 种结果，共 3×2=63 \times 2 = 6 种等可能结果；两次都是红球的有：（红 1，红 2）、（红 2，红 1），共 2 种。

P(两次都是红球)=26=13P(\text{两次都是红球}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

注意："不放回"时第二次只剩 2 个球；若"放回"，则共 3×3=93 \times 3 = 9 种结果，概率为 49\dfrac{4}{9}。两种情形务必看清题意。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点
  1. 结果不等可能却硬套公式：如"明天要么下雨要么不下雨，所以下雨概率是 12\frac{1}{2}"是典型错误——两种结果不等可能。
  2. 列举重复或遗漏：两枚骰子的 (3,5)(3,5) 与 (5,3)(5,3) 是不同结果；两枚相同的硬币也要当作"可区分"来列举。
  3. 放回与不放回混淆：不放回摸球第二次总数减 1，树状图分支要相应减少，照抄第一次的分支就错了。
  4. 频率与概率混为一谈：频率随试验变化，概率是确定的常数；"概率为 12\frac{1}{2}"不代表掷 10 次必有 5 次正面，"中奖率 1%"也不保证买 100 张彩票必中奖——概率描述的是长期规律。

生活中的应用

🌏生活中的应用
  • 天气预报：杭州气象台发布"明天降水概率 80%80\%"，就是用历史数据的频率对降水可能性做出的估计。
  • 抽奖活动：商场"转盘抽奖"各奖项区域的圆心角大小决定中奖概率，角度越小奖越难中。
  • 保险定价：保险公司统计大量数据得到事故发生的频率，以此估计概率、计算保费。

生活应用题 · 亚运吉祥物盲盒

小杭在杭州奥体中心纪念品店买盲盒，每个盲盒随机装有"琮琮""莲莲""宸宸"三款吉祥物中的一款，且每款出现的可能性相等。小杭连买 2 个盲盒，求两个盲盒中吉祥物恰好不同的概率。

分步解：

  1. 用列表法：每个盲盒有 3 种等可能结果，共 3×3=93 \times 3 = 9 种组合。
  2. 两款相同的有（琮，琮）、（莲，莲）、（宸，宸）共 3 种，不同的有 9−3=69 - 3 = 6 种，故 P(恰好不同)=69=23P(\text{恰好不同}) = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}。

考点

🎯考点提示
  • 基础：判断必然事件、不可能事件、随机事件；用 P(A)=mnP(A)=\frac{m}{n} 直接求概率
  • 核心：列表法、树状图法求两步试验的概率（中考解答题常规题型，注意放回与不放回）
  • 频率估计概率：由频率表或统计图估计概率、估计袋中某色球的个数
  • 综合：概率与统计（扇形图、条形图）结合，先读图再求概率，是杭州中考统计概率大题的固定搭配

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

一个不透明的袋子里装有 1 个红球和 2 个白球，除颜色外完全相同。从中随机摸出 1 个球，记下颜色后放回搅匀，再随机摸出 1 个球。求两次都摸到白球的概率。

✏️ 点击查看解答

设白球为白 1、白 2。放回摸球，每次都有 3 种等可能结果，共 3×3=93 \times 3 = 9 种；两次都是白球的有：（白 1，白 1）、（白 1，白 2）、（白 2，白 1）、（白 2，白 2），共 4 种。

P(两次都是白球)=49P(\text{两次都是白球}) = \frac{4}{9}

易错：若误按"不放回"处理，会得到 26=13\frac{2}{6} = \frac{1}{3}，务必看清题目条件。

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

某商场促销转盘被分成 8 个大小相同的扇形，其中 3 个扇形标"谢谢惠顾"，其余标有奖品。指针随机停在某个扇形内（指针指向分界线时重转）。求转一次转盘获得奖品的概率。

✏️ 点击查看解答

8 个扇形大小相同，指针停在每个扇形内的可能性相等，n=8n = 8；标有奖品的扇形有 8−3=58 - 3 = 5 个，m=5m = 5，所以 P(获得奖品)=58P(\text{获得奖品}) = \dfrac{5}{8}。

转盘问题中"扇形大小相同"是等可能的前提，若扇形大小不同，则按圆心角占比计算。

视频讲解

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