圆（垂径定理、圆周角）

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

为什么井盖是圆的？因为圆的直径处处相等，圆形井盖无论怎么放都不会掉进井里——这是圆"处处对称"的天然优势。杭州京杭大运河上的拱宸桥，桥洞是优美的圆弧形，古代工匠没有精密仪器，却能砌出标准的圆拱，靠的正是圆的几何性质：只要确定圆心和半径，整条弧就完全确定了。

我国古代数学家对圆研究极深：刘徽用"割圆术"逼近圆周率，祖冲之更是把 $\pi$ 精确到小数点后七位，领先世界近千年。本课要学习圆中两个最重要的定理：垂径定理与圆周角定理。

知识讲解

圆的基本概念

圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。连接圆上两点的线段叫弦，经过圆心的弦是直径（最长的弦）；圆上两点之间的部分叫弧，分优弧、劣弧和半圆。

垂径定理

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垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

垂径定理的计算核心是构造直角三角形：设半径为 $r$ ，弦长为 $a$ ，圆心到弦的距离（弦心距）为 $d$ ，则 $r^2 = d^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2$ 。"半径、半弦、弦心距"构成直角三角形，配合勾股定理，是圆中计算的第一大法宝。

圆周角定理

顶点在圆心的角叫圆心角；顶点在圆上、两边都与圆相交的角叫圆周角。

🔑

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：① 同弧或等弧所对的圆周角相等；② 直径所对的圆周角是直角（ $90°$ ）， $90°$ 的圆周角所对的弦是直径。

"直径所对的圆周角是直角"用途极广：见到直径就要想到直角；要证直角，可以考虑构造直径。另外，圆内接四边形的对角互补：若四边形 $ABCD$ 内接于圆，则 $\angle A + \angle C = 180°$ ， $\angle B + \angle D = 180°$ 。

经典例题

例垂径定理求弦长

半径为 5 的圆 $O$ 中，圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离为 3，求弦 $AB$ 的长。

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过 $O$ 作 $OM \perp AB$ 于 $M$ ，由垂径定理， $M$ 是 $AB$ 中点。在直角三角形 $OMA$ 中：

$AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{16} = 4$

所以 $AB = 2AM = 8$ 。（半径 5、弦心距 3、半弦 4，正是勾股数 3,4,5。）

例圆周角定理求角度

如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 是圆 $O$ 上三点， $\angle AOB = 100°$ ，点 $C$ 在优弧 $AB$ 上。求 $\angle ACB$ 的度数。

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$\angle ACB$ 与圆心角 $\angle AOB$ 对着同一条劣弧 $AB$ ，由圆周角定理：

$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \times 100° = 50°$

追问：若点 $C$ 在劣弧 $AB$ 上呢？此时 $\angle ACB$ 对的是优弧，所对圆心角为 $360° - 100° = 260°$ ，故 $\angle ACB = 130°$ 。两种位置要分清。

例直径所对的圆周角

$AB$ 是圆 $O$ 的直径， $C$ 是圆上一点（不与 $A$ 、 $B$ 重合）， $AC = 6$ ， $BC = 8$ 。求圆 $O$ 的半径。

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$AB$ 是直径，所以 $\angle ACB = 90°$ ，三角形 $ABC$ 是直角三角形。由勾股定理：

$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

半径 $= AB \div 2 = 5$ 。直径 ⟹ 直角 ⟹ 勾股定理，三步连招是圆与直角三角形结合的标准套路。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

垂径定理忘记"取一半"：定理平分的是弦，算出的直角边是半弦 $\frac{a}{2}$ ，最后要乘 2 才是弦长。
圆周角定理用反：圆周角是圆心角的一半，不是两倍；写关系式前先确认哪个是圆心角。
分类讨论漏解：同一条弦所对的圆周角有优弧上与劣弧上两种，两者互补；两条平行弦可能在圆心同侧或异侧，弦间距离有两个答案，漏解是填空题失分重灾区。
推论条件丢失："平分弦的直径垂直于弦"要求这条弦不是直径——两条直径互相平分但未必垂直。

生活中的应用

🌏生活中的应用

拱宸桥圆拱：知道桥洞的跨度（弦长）和拱高，用垂径定理就能算出圆拱所在圆的半径，这是古代造桥的核心计算。
木工找圆心：用直角尺的直角顶点靠在圆板边缘，两条边与圆的交点连线就是直径（ $90°$ 圆周角所对的弦是直径），画两次即得圆心。

生活应用题 · 运河石拱桥的半径

杭州运河边一座石拱桥，桥洞是圆弧形，水面宽（弦长） $AB = 16$ 米，拱顶到水面的距离（拱高）为 4 米。求桥洞圆弧所在圆的半径。

分步解：

设半径为 $r$ 米，圆心 $O$ 在拱顶正下方，弦心距 $d = r - 4$ ；半弦 $= 16 \div 2 = 8$ 。
由垂径定理得方程 $r^2 = (r-4)^2 + 8^2$ ，展开解得 $8r = 80$ ， $r = 10$ 。
验算：弦心距 $= 10 - 4 = 6$ ， $6^2 + 8^2 = 100 = 10^2$ ✅。半径为 10 米。

考点

🎯考点提示

基础：垂径定理配勾股定理，"半径、半弦、弦心距"知二求一
角度题：圆心角与圆周角的转化、同弧圆周角相等、圆内接四边形对角互补
高频结论：直径所对的圆周角是直角（与勾股定理、相似综合）；分类讨论：点在优弧还是劣弧、平行弦同侧还是异侧
综合题：圆与三角形、四边形结合，是杭州中考几何大题的常见背景

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

圆 $O$ 的半径为 13，弦 $AB$ 的长为 24，求圆心 $O$ 到弦 $AB$ 的距离。

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由垂径定理，半弦 $= 24 \div 2 = 12$ ，所以 $d = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{25} = 5$ 。

圆心到弦的距离为 5。（勾股数 5,12,13 再次登场。）

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

如图， $AB$ 是圆 $O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是圆上两点（在 $AB$ 同侧）， $\angle BDC = 35°$ 。求 $\angle ABC$ 的度数。

✏️ 点击查看解答

$\angle BAC$ 与 $\angle BDC$ 是同弧 $BC$ 所对的圆周角，所以 $\angle BAC = 35°$ ； $AB$ 是直径，所以 $\angle ACB = 90°$ 。

在三角形 $ABC$ 中： $\angle ABC = 180° - 90° - 35° = 55°$ 。先用"同弧圆周角相等"转移角，再用"直径对直角"锁定直角三角形。

视频讲解

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