数据的分析（平均数、方差）

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

19 世纪中叶，英国护士南丁格尔在战地医院发现：士兵大量死亡的真正原因不是战伤，而是恶劣的卫生条件。她把死亡数据整理成著名的"玫瑰图"呈给议会，推动了战地医疗改革，拯救了成千上万人的生命——这是用数据说话改变世界的经典案例。

数据本身是零散的，要从中读出信息，需要两把"尺子"：一把量平均水平（平均数、中位数、众数），一把量波动大小（方差、标准差）。

选运动员要看"稳不稳"，评价空气质量要看"波动大不大"，商家进货要看"哪个尺码卖得多"——数据分析的思想，就藏在这些日常决策里。

知识讲解

平均数——衡量平均水平

🔑

$n$ 个数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的平均数为 $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$ 。若数据的权重不同，则用加权平均数： $\bar{x} = \dfrac{x_1 w_1 + x_2 w_2 + \cdots + x_k w_k}{w_1 + w_2 + \cdots + w_k}$ 。

加权平均数中"权"反映每个数据的重要程度，如学期总评"平时 30% + 期末 70%"。

中位数与众数

中位数：把数据从小到大排列，处于正中间的数（数据个数为偶数时取中间两数的平均数）。它不受极端值影响。
众数：出现次数最多的数据。一组数据的众数可能不止一个。

工资表中若有极高的个别值，平均数会被"拉高"，此时中位数更能代表一般水平。

方差——衡量波动大小

🔑

方差是各数据与平均数差的平方的平均数： $s^2 = \dfrac{1}{n}\left[(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2\right]$ 。方差越小，数据越稳定；方差越大，波动越大。

计算方差三步走：先求平均数，再求每个数据与平均数的差的平方，最后求这些平方的平均数。

数据变化对统计量的影响

每个数据都加上常数 $a$ ：平均数加 $a$ ，方差不变（整体平移不改变离散程度）。
每个数据都乘以常数 $k$ ：平均数乘 $k$ ，方差乘 $k^2$ 。

这两条结论是选择填空题的常客，务必记牢。

经典例题

例计算方差并比较稳定性

甲、乙两名选手 5 次射击成绩（单位：环）如下——甲：8, 9, 10, 9, 9；乙：7, 10, 10, 8, 10。哪位选手发挥更稳定？

✏️ 点击查看解答

先求平均数：

$\bar{x}_{\text{甲}} = \frac{8+9+10+9+9}{5} = 9, \quad \bar{x}_{\text{乙}} = \frac{7+10+10+8+10}{5} = 9$

再求方差：

$s_{\text{甲}}^2 = \frac{1}{5}\left[(-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2\right] = \frac{2}{5} = 0.4$

$s_{\text{乙}}^2 = \frac{1}{5}\left[(-2)^2 + 1^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2\right] = \frac{8}{5} = 1.6$

因为 $s_{\text{甲}}^2 \lt s_{\text{乙}}^2$ ，且两人平均数相同，所以甲发挥更稳定。

例中位数与众数的辨析

某班 10 名同学一周课外阅读时间（小时）为：3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 15。求这组数据的平均数、中位数和众数，并说明哪个统计量更能代表大多数同学的阅读水平。

✏️ 点击查看解答

平均数： $\bar{x} = \dfrac{3+4+4+5+5+5+6+6+7+15}{10} = \dfrac{60}{10} = 6$ （小时）。

中位数：数据已从小到大排列，第 5、6 个数都是 5，中位数 $= \dfrac{5+5}{2} = 5$ （小时）。

众数：5 出现 3 次，最多，众数为 5 小时。

极端值 15 把平均数"拉高"到 6，而 10 人中有 8 人不超过 6 小时，所以中位数（或众数）更能代表大多数同学的水平。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

求中位数忘记排序：必须先从小到大（或从大到小）排列，直接取中间位置的原始数据是错的。
方差公式漏平方或漏除以 $n$ ：差要平方（否则正负抵消），最后还要除以数据个数。
方差比较的前提：说"方差小就更好"之前，一般要先确认两组数据的平均数相同或相近，否则失去可比性。
数据加常数后方差算错：每个数据加 3，方差不变；每个数据乘 2，方差变为原来的 4 倍。
众数不唯一或不存在被忽略：出现次数并列最多时众数有多个，不要只写一个。

生活中的应用

🌏生活中的应用

选拔运动员：平均成绩相近时，教练用方差挑出发挥更稳定的选手。
商店进货：鞋店老板最关心众数——哪个尺码卖得最多就多进哪个。
空气质量报告：杭州每日 AQI 的平均值反映整体水平，方差反映波动，波动小说明空气质量稳定。
工厂质检：零件尺寸方差超标说明机器精度下降，需要检修。

生活应用题 · 挑选跑进校运会的选手

小杭和同学小舟备战校运会 100 米。最近 5 次训练成绩（秒）——小杭：13.2, 13.0, 13.1, 12.9, 12.8；小舟：12.5, 13.6, 12.6, 13.5, 12.8。体育老师该推荐谁？

分步解：

平均数：小杭 $\bar{x} = \dfrac{13.2+13.0+13.1+12.9+12.8}{5} = 13.0$ （秒）；小舟 $\bar{x} = \dfrac{12.5+13.6+12.6+13.5+12.8}{5} = 13.0$ （秒）。两人平均水平相同。
方差：小杭 $s^2 = \dfrac{1}{5}(0.04+0+0.01+0.01+0.04) = 0.02$ ；小舟 $s^2 = \dfrac{1}{5}(0.25+0.36+0.16+0.25+0.04) = 0.212$ 。
$0.02 \lt 0.212$ ，小杭的成绩波动小得多。
结论：平均水平相同，推荐更稳定的小杭；但若比赛需要"冲击最好名次"，小舟的下限 12.5 秒也值得关注——统计量要结合目的来选用。

考点

🎯考点提示

基础：求平均数、加权平均数、中位数、众数（选择填空高频）
核心：方差的计算与用方差比较稳定性（解答题常考）
辨析：平均数受极端值影响，选择合适统计量描述数据
规律：数据整体加常数、乘常数后各统计量的变化
综合：结合统计表、条形图、扇形图读取数据再分析，是杭州中考统计题的固定套路

中考真题

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

某校从甲、乙两名同学中选拔一人参加市级数学竞赛，两人最近 6 次测试的平均分都是 90 分，方差分别为 $s_{\text{甲}}^2 = 4.5$ ， $s_{\text{乙}}^2 = 2.8$ 。

（1）应选谁参赛？说明理由。（2）若乙的 6 次成绩每次都提高 5 分，新成绩的平均数和方差分别是多少？

✏️ 点击查看解答

（1）两人平均分相同，而 $s_{\text{乙}}^2 = 2.8 \lt s_{\text{甲}}^2 = 4.5$ ，乙的成绩更稳定，应选乙参赛。

（2）每个数据都加 5：平均数变为 $90 + 5 = 95$ （分）；方差不变，仍为 2.8。

易错：整体平移只改变平均数，不改变数据的离散程度，方差不跟着加 5。

视频讲解

📺B 站视频讲解去 B 站观看「平均数与方差：用数据说话」优质讲解视频 →

← 返回初中数学目录查看学习地图