一次函数 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

17 世纪，法国数学家笛卡尔躺在床上看天花板上的苍蝇爬动，突发奇想：能不能用两个数来描述苍蝇的位置？于是平面直角坐标系诞生了，几何图形第一次可以用代数式来表达。

有了坐标系，"两个变量之间的关系"就能画成图象。最简单也最常用的一类关系是：一个量每增加 1，另一个量总是增加（或减少）固定的数——比如网约车每多开 1 公里，车费就固定多几元。这种"均匀变化"的关系，图象是一条直线，这就是一次函数。

一次函数是初中学习的第一个正式函数，"数形结合"的思想从这里开始，将一路陪你到高考。

知识讲解

一次函数的定义

🔑

形如 $y = kx + b$ （ $k$ 、 $b$ 为常数， $k \ne 0$ ）的函数叫做一次函数。当 $b = 0$ 时， $y = kx$ 叫做正比例函数，是特殊的一次函数。

注意 $k \ne 0$ 是定义的一部分：若 $k = 0$ ， $y = b$ 就不是一次函数了。

k 与 b 的意义——读懂一条直线

一次函数的图象是一条直线， $k$ 和 $b$ 各管一件事：

$k$ 叫斜率，管"方向和陡缓"： $x$ $x$ 每增加 1， $y$ $y$ 就增加 $k$ $k$ 。
- $k \gt 0$ ：直线上升， $y$ 随 $x$ 的增大而增大；
- $k \lt 0$ ：直线下降， $y$ 随 $x$ 的增大而减小；
- $|k|$ 越大，直线越陡。
$b$ 叫截距，管"起点位置"：直线与 $y$ $y$ 轴交于点 $(0, b)$ $(0, b)$ 。
- $b \gt 0$ ：交点在 $y$ 轴正半轴； $b \lt 0$ ：交点在负半轴； $b = 0$ ：过原点。

由 $k$ 、 $b$ 的符号可以判断直线经过哪几个象限。例如 $k \gt 0$ 且 $b \gt 0$ 时，直线经过第一、二、三象限。

图象的画法

两点确定一条直线：通常取与 $y$ 轴的交点 $(0, b)$ ，以及与 $x$ 轴的交点 $\left(-\dfrac{b}{k},\ 0\right)$ （令 $y = 0$ 解出），描点后连线即可。

待定系数法求解析式

已知直线上两个点的坐标，就能求出 $k$ 、 $b$ ：设 $y = kx + b$ ，把两点坐标代入得二元一次方程组，解出即可。这是中考最常考的基本功。

与方程、不等式的关系

直线 $y = kx + b$ 与 $x$ 轴交点的横坐标，就是方程 $kx + b = 0$ 的解；图象在 $x$ 轴上方的部分，对应不等式 $kx + b \gt 0$ 的解集——“看图解不等式”是数形结合的典型应用。

经典例题

例待定系数法求解析式

已知一次函数的图象经过点 $A(1, 3)$ 和点 $B(-1, -1)$ ，求这个一次函数的解析式。

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设 $y = kx + b$ ，代入两点坐标：

$\begin{cases} k + b = 3 \\ -k + b = -1 \end{cases}$

两式相加得 $2b = 2$ ， $b = 1$ ；代回得 $k = 2$ 。

所以解析式为 $y = 2x + 1$ 。

检验： $x = -1$ 时 $y = -2 + 1 = -1$ ✅。

例分段计费的实际问题

杭州某网约车计费规则：起步价 11 元（含 3 公里），超过 3 公里的部分每公里 2.5 元。设行驶路程为 $x$ 公里（ $x \gt 3$ ），车费为 $y$ 元。求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并计算从家到西湖 8 公里的车费。

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超出部分为 $(x - 3)$ 公里，所以

$y = 11 + 2.5(x - 3) = 2.5x + 3.5 \quad (x \gt 3)$

当 $x = 8$ 时： $y = 2.5 \times 8 + 3.5 = 23.5$ （元）。

解读： $k = 2.5$ 表示每多行驶 1 公里，车费增加 2.5 元；写解析式时别忘了标注自变量取值范围 $x \gt 3$ 。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

忽略 $k \ne 0$ ：题目说" $y = (m-2)x + 1$ 是一次函数"，必须有 $m - 2 \ne 0$ ，即 $m \ne 2$ 。
k、b 作用记混： $k$ 管升降陡缓， $b$ 管与 $y$ 轴交点，不要张冠李戴。
增减性说反： $k \lt 0$ 时 $y$ 随 $x$ 增大而减小，比较函数值大小时要先看 $k$ 的符号。
实际问题不写取值范围：路程、时间等不能为负，解析式后必须注明自变量范围。

生活中的应用

🌏生活中的应用

网约车/出租车计费：车费与里程是一次函数关系， $k$ 是每公里单价， $b$ 与起步价有关。
话费与流量套餐：月租固定（ $b$ ），超出流量按单价计费（ $k$ ），比较两种套餐哪个划算就是比较两条直线。
杭州地铁里程票价、水电阶梯收费，都是分段的一次函数模型。

生活应用题 · 两种共享单车套餐怎么选

小杭周末从滨江骑共享单车去钱塘江边。A 品牌：无起步费，每分钟 0.3 元；B 品牌：起步 1.5 元（含前 10 分钟），之后每分钟 0.2 元。骑行 $x$ 分钟（ $x \gt 10$ ），选哪家更省钱？

分步解：

A 品牌： $y_A = 0.3x$ ；B 品牌： $y_B = 1.5 + 0.2(x - 10) = 0.2x - 0.5$ （ $x \gt 10$ ）。
令 $y_A = y_B$ ： $0.3x = 0.2x - 0.5$ ，解得 $x = -5$ ，在 $x \gt 10$ 范围内无解。
当 $x \gt 10$ 时， $y_A - y_B = 0.1x + 0.5 \gt 0$ 恒成立，即 $y_A$ 始终更贵。
结论：骑行超过 10 分钟时，选 B 品牌更省钱。用函数比大小，比逐个试数高效得多。

考点

🎯考点提示

基础：由 $k$ 、 $b$ 符号判断图象经过的象限与增减性
核心：待定系数法求解析式（选择、填空、解答均常见）
数形结合：由图象读取方程的解、不等式的解集
应用题：计费方案比较、行程问题，是杭州中考解答题的高频题型
综合：一次函数与几何图形（三角形面积、动点）结合的压轴题

中考真题

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

已知一次函数 $y = kx + b$ （ $k \ne 0$ ）的图象经过点 $(0, 3)$ 和 $(1, 1)$ 。

（1）求该一次函数的解析式；（2）判断点 $(2, -1)$ 是否在该函数的图象上。

✏️ 点击查看解答

（1）由过点 $(0, 3)$ 得 $b = 3$ ；代入 $(1, 1)$ ： $k + 3 = 1$ ，得 $k = -2$ 。

解析式为 $y = -2x + 3$ 。

（2）当 $x = 2$ 时， $y = -2 \times 2 + 3 = -1$ ，与点的纵坐标相同，

所以点 $(2, -1)$ 在该函数图象上。

方法：判断点是否在图象上，就是把横坐标代入看函数值是否等于纵坐标。

视频讲解

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