二次根式 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派认为"万物皆数"，一切数都能写成两个整数之比。可学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，对角线长是 $\sqrt{2}$ ，它无论如何也写不成分数！这个发现动摇了学派的信仰，据传希帕索斯因此被扔进了大海。

这就是数学史上著名的"第一次数学危机"。 $\sqrt{2}$ 这样的数被称为无理数，而带根号的式子——二次根式，正是从这里走进了数学的殿堂。

今天我们不再恐惧根号，而是要学会驾驭它：什么时候有意义、怎么化简、怎么运算。这些规则将贯穿整个初中和高中代数。

知识讲解

二次根式的概念

🔑

形如 $\sqrt{a}$ （ $a \ge 0$ ）的式子叫做二次根式。被开方数必须非负，这是二次根式有意义的前提条件。

例如 $\sqrt{5}$ 、 $\sqrt{x+1}$ （需 $x \ge -1$ ）都是二次根式；而 $\sqrt{-3}$ 没有意义。

两个重要性质

性质一： $(\sqrt{a})^2 = a$ （ $a \ge 0$ ）——先开方再平方，还原本身。
性质二： $\sqrt{a^2} = |a|$ ——先平方再开方，结果是绝对值！当 $a \ge 0$ 时等于 $a$ ，当 $a \lt 0$ 时等于 $-a$ 。

性质二是易错重灾区： $\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3$ ，而不是 $-3$ 。

最简二次根式

满足两个条件的二次根式叫最简二次根式：

被开方数不含能开得尽方的因数（因式），如 $\sqrt{8}$ 要化成 $2\sqrt{2}$ ；
被开方数不含分母，如 $\sqrt{\dfrac{1}{2}}$ 要化成 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 。

计算结果必须化为最简二次根式，这是中考评分的硬要求。

二次根式的运算

乘法： $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ （ $a \ge 0$ ， $b \ge 0$ ）
除法： $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ （ $a \ge 0$ ， $b \gt 0$ ）
加减：先化为最简二次根式，再合并同类二次根式（被开方数相同的才能合并），类似合并同类项。

例如 $\sqrt{8} + \sqrt{18} = 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ ；而 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ 不能再合并。

经典例题

例求字母的取值范围

要使 $\sqrt{x-2} + \dfrac{1}{x-3}$ 有意义，求 $x$ 的取值范围。

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两个条件同时满足：

被开方数非负： $x - 2 \ge 0$ ，即 $x \ge 2$ ；
分母不为零： $x - 3 \ne 0$ ，即 $x \ne 3$ 。

所以 $x \ge 2$ 且 $x \ne 3$ 。

注意：漏掉分母条件是最常见的失分点。

例化简与混合运算

计算： $\sqrt{12} \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{27} + |\,1 - \sqrt{3}\,|$ 。

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逐项化简：

$\sqrt{12} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{36}}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$

因为 $\sqrt{3} \gt 1$ ，所以 $|\,1 - \sqrt{3}\,| = \sqrt{3} - 1$ 。

原式 $= 3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 = 2 - 2\sqrt{3}$ 。

注意：去绝对值前先判断正负， $1 - \sqrt{3}$ 是负数，去掉绝对值要变号。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

$\sqrt{a^2}$ 与 $(\sqrt{a})^2$ 混淆：前者等于 $|a|$ 对一切实数成立，后者要求 $a \ge 0$ 且结果就是 $a$ 。
忘记"非负"前提：见到 $\sqrt{x-1}$ 就直接运算，不先写 $x \ge 1$ ，解答题会扣步骤分。
加减时乱合并： $\sqrt{2} + \sqrt{3} \ne \sqrt{5}$ ！根号不能"拆开加"，必须先化简再合并同类二次根式。
结果不化简：算出 $\sqrt{8}$ 就收工，标准答案是 $2\sqrt{2}$ ，未化简要扣分。
分母带根号： $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 必须分母有理化写成 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ 。

生活中的应用

🌏生活中的应用

屏幕与纸张：A4 纸长宽之比恰为 $\sqrt{2} : 1$ ，对折后比例不变，这是国际纸张标准的数学奥秘。
建筑放样：正方形地砖的对角线长是边长的 $\sqrt{2}$ 倍，工人铺 45° 斜铺时靠它下料。
物理公式：自由落体时间 $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ ，卫星速度、单摆周期都离不开二次根式。

生活应用题 · 西湖边的正方形花坛

小杭家附近的湖滨步行街要修一个面积为 32 平方米的正方形花坛，并沿对角线铺一条小路。这条小路有多长？（结果保留根号）

分步解：

花坛边长 $= \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ （米）。
对角线 $= \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 32} = \sqrt{64} = 8$ （米）。
小路长 8 米。边长虽是无理数，对角线却是整数，二次根式运算常有这种"意外惊喜"。

考点

🎯考点提示

基础：求使二次根式有意义的字母取值范围（常与分式结合）
化简：判断与化成最简二次根式、分母有理化
计算：二次根式与绝对值、乘方、零指数幂的混合运算（中考必考计算题）
求值：利用 $x+y$ 、 $xy$ 整体代入求代数式的值
综合：与勾股定理、一次函数结合求线段长

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

计算： $\sqrt{18} - \sqrt{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$ 。

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$\sqrt{18} = 3\sqrt{2}, \quad \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$

原式 $= 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 2 = 2\sqrt{2} + 2$ 。

易错：负指数幂 $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}$ 是取倒数得 2，不是 $-\dfrac{1}{2}$ 。

视频讲解

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