分式 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

小学学分数时，我们知道 $\dfrac{3}{4}$ 表示把整体平均分成 4 份取 3 份。到了八年级，分母里出现了字母： $\dfrac{100}{v}$ 表示以速度 $v$ 走完 100 米所需的时间——这就是分式。

分式让数学能描述"变化中的除法"：速度变了，时间跟着变。工程问题、行程问题、浓度问题里的核心数量关系，几乎都要靠分式来表达。

但字母进了分母，也带来一条必须时刻绷紧的红线：分母不能为零。约分、通分、解方程，每一步都得盯着这条红线——分式方程要"验根"，正是这条红线的直接后果。

知识讲解

分式的概念

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形如 $\dfrac{A}{B}$ （ $A$ 、 $B$ 是整式，且 $B$ 中含有字母）的式子叫作分式。分式有意义的条件：分母不等于 0；分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0。

例如 $\dfrac{x-1}{x+2}$ 有意义要求 $x \neq -2$ ；它的值为 0 要求 $x = 1$ （此时分母 $3 \neq 0$ ，成立）。

分式的基本性质与约分、通分

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分式的分子与分母同乘（或同除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变：

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot C}{B \cdot C} = \dfrac{A \div C}{B \div C} \quad (C \neq 0)$

约分：先把分子、分母因式分解，再约去公因式，如 $\dfrac{x^2-1}{x^2+x} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)} = \dfrac{x-1}{x}$ 。
通分：把几个分式化成分母相同的分式，最简公分母取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂。

分式的运算

乘除：分子乘分子、分母乘分母；除以一个分式等于乘它的倒数。
加减：同分母直接分子相加减；异分母先通分再加减。
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，结果必须化为最简分式。

分式方程

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分母中含未知数的方程叫分式方程。解法：方程两边同乘最简公分母，化为整式方程求解，最后必须检验——使最简公分母为 0 的根是增根，要舍去。

经典例题

例分式的化简

化简： $\dfrac{a^2 - 9}{a^2 + 6a + 9} \div \dfrac{a - 3}{a + 3}$ 。

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先把各部分因式分解，除法化为乘法：

$原式 = \dfrac{(a+3)(a-3)}{(a+3)^2} \times \dfrac{a+3}{a-3}$

约去公因式 $(a+3)$ 与 $(a-3)$ ：

$原式 = \dfrac{(a+3)(a-3)(a+3)}{(a+3)^2 (a-3)} = 1$

步骤口诀：一分解、二变乘、三约分，化简题按这三步走不会乱。

例解分式方程（含增根检验）

解方程： $\dfrac{2}{x-3} = \dfrac{3}{x}$ 。

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两边同乘最简公分母 $x(x-3)$ ：

$2x = 3(x - 3)，\quad 2x = 3x - 9，\quad x = 9$

检验：当 $x = 9$ 时， $x(x-3) = 9 \times 6 = 54 \neq 0$ ，是原方程的根。

所以原方程的解为 $x = 9$ 。提醒：检验这一步在中考评分标准里单独占分，漏写要扣分。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

解分式方程不检验：去分母后解出的根可能使公分母为 0（增根），必须代入最简公分母检验，这是本章第一大失分点。
约分前不因式分解： $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 不能直接"划掉"什么，要先分解成 $\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}$ 再约。
加减忘通分或漏乘：异分母相加减必须通分；去分母时每一项都要乘公分母，常数项最容易漏乘。
化简求值乱取值：题目让"任选一个数代入"时，所选的数不能使原式及化简过程中任何分母为 0。

生活中的应用

🌏生活中的应用

行程问题：时间 $=$ 路程 $\div$ 速度，速度含未知数时，时间就是分式。
工程问题：把总工作量看作 1，工作效率是 $\dfrac{1}{t}$ ，合作问题全靠分式方程。
浓度与配比：奶茶店调糖度、药剂师配药液，浓度公式就是一个分式。

生活应用题 · 绿道骑行的速度问题

小杭沿钱塘江绿道骑行 30 千米所用的时间，与爸爸开车行驶 90 千米所用的时间相同。已知汽车速度比骑行速度快 40 千米/时，求骑行速度。

分步解：

设骑行速度为 $x$ 千米/时，则汽车速度为 $(x+40)$ 千米/时。
由"时间相同"列分式方程： $\dfrac{30}{x} = \dfrac{90}{x+40}$ 。
两边同乘 $x(x+40)$ ： $30(x+40) = 90x$ ，即 $30x + 1200 = 90x$ ，解得 $x = 20$ 。
检验： $x = 20$ 时公分母 $x(x+40) = 1200 \neq 0$ 。骑行速度为 20 千米/时。

考点

🎯考点提示

分式有意义、值为 0 的条件：选择填空基础分
分式化简：约分、通分、四则混合运算，注意结果最简
化简求值：先化简再代入，取值要避开使分母为 0 的数
分式方程：解方程必须检验增根，评分点独立
分式方程应用题：行程、工程、销售问题，杭州中考解答题常客

中考真题

真题浙江杭州中考（改编）

先化简，再求值： $\left(1 + \dfrac{1}{x-1}\right) \div \dfrac{x}{x^2 - 1}$ ，其中 $x = 2$ 。

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先算括号内（通分）：

$1 + \dfrac{1}{x-1} = \dfrac{x-1+1}{x-1} = \dfrac{x}{x-1}$

除法化乘法并约分：

$原式 = \dfrac{x}{x-1} \times \dfrac{(x+1)(x-1)}{x} = x + 1$

当 $x = 2$ 时，原式 $= 2 + 1 = 3$ 。

注意：本题要求 $x \neq 0$ 、 $x \neq 1$ 、 $x \neq -1$ ，所给的 $x = 2$ 合法；若题目让自选取值，这三个数都不能选。

视频讲解

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