整式的乘法与因式分解

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

小学我们背乘法口诀，把 $7 \times 8$ 一口报出 56；到了初中，数变成了式，我们同样需要一套"字母世界的口诀"——乘法公式。

有趣的是，古人是用图形来理解这些公式的：一个边长为 $a+b$ 的大正方形，可以切成一个 $a^2$ 的正方形、一个 $b^2$ 的正方形和两个 $ab$ 的长方形——这正是完全平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 的几何解释。

而因式分解是整式乘法的"倒放录像"：把展开的多项式重新还原成乘积形式。它是后面学分式化简、解一元二次方程的必备钥匙，这一章学不扎实，九年级会处处碰壁。

知识讲解

幂的运算法则

🔑

设 $m$ 、 $n$ 为正整数：

同底数幂相乘： $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ （底数不变，指数相加）
幂的乘方： $(a^m)^n = a^{mn}$ （指数相乘）
积的乘方： $(ab)^n = a^n b^n$
同底数幂相除： $a^m \div a^n = a^{m-n}$ （ $a \neq 0$ ），且 $a^0 = 1$ （ $a \neq 0$ ）

整式的乘法

单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把积相加，如 $2x(3x - 1) = 6x^2 - 2x$ 。
多项式乘多项式：用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，如 $(x+2)(x+3) = x^2 + 5x + 6$ 。

乘法公式

🔑

平方差公式： $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

完全平方公式： $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$

记忆要点：平方差是"相同项的平方减去相反项的平方"；完全平方展开有三项，中间的 $2ab$ 最容易丢。

因式分解

🔑

把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫作因式分解。基本步骤口诀：一提二套三检查——先提公因式，再套公式（平方差、完全平方），最后检查每个因式能否继续分解。

提公因式： $3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$
套平方差： $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$
套完全平方： $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

经典例题

例乘法公式的运用

计算：（1） $(2x+3)(2x-3)$ ；（2） $(3a - 2b)^2$ 。

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（1）用平方差公式，相同项是 $2x$ ，相反项是 3：

$(2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 = 4x^2 - 9$

（2）用完全平方公式：

$(3a-2b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 2b + (2b)^2 = 9a^2 - 12ab + 4b^2$

注意： $(3a)^2 = 9a^2$ ，系数也要平方，别写成 $3a^2$ 。

例综合因式分解

分解因式：（1） $2x^2 - 8$ ；（2） $a^3 - 4a^2 + 4a$ 。

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（1）先提公因式 2，再套平方差：

$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x+2)(x-2)$

（2）先提公因式 $a$ ，再套完全平方：

$a^3 - 4a^2 + 4a = a(a^2 - 4a + 4) = a(a-2)^2$

易错：只做到 $2(x^2-4)$ 就停笔——括号里还能继续分解，必须分到不能再分为止。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

完全平方丢中间项： $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ ！中间的 $2ab$ 是最高频失分点，可用 $(1+2)^2 = 9 \neq 1^2 + 2^2 = 5$ 验证。
幂运算法则混用： $a^2 \cdot a^3 = a^5$ （指数相加）， $(a^2)^3 = a^6$ （指数相乘），两者别搞混； $a^2 + a^3$ 不能合并。
因式分解不彻底：提完公因式或套完一次公式后，要检查括号内能否继续分解。
分解与展开方向搞反：因式分解的结果必须是乘积形式，写成 $x(x+1) - 2$ 这种"半成品"不算分解。
符号错误：提出负号时括号内每一项都要变号，如 $-x^2 + 4x = -x(x - 4)$ 。

生活中的应用

🌏生活中的应用

心算技巧：超市促销价 $102 \times 98 = (100+2)(100-2) = 10000 - 4 = 9996$ ，平方差公式秒算。
面积规划：园林绿地扩建后的面积计算，本质就是多项式乘法的展开。

生活应用题 · 西溪湿地的正方形花圃改造

西溪湿地有一块边长为 $a$ 米的正方形花圃。改造方案：一组对边各增加 3 米，另一组对边各减少 3 米，变成长方形。改造后面积变大还是变小？变化多少？

分步解：

改造后花圃是长 $(a+3)$ 米、宽 $(a-3)$ 米的长方形。
新面积 $= (a+3)(a-3) = a^2 - 9$ （平方米），原面积为 $a^2$ 平方米。
$a^2 - 9$ 比 $a^2$ 小 9，所以面积变小了 9 平方米——"加多少再减多少"，面积并不守恒，平方差公式一眼看穿。

考点

🎯考点提示

幂的四则运算法则：选择题基础分，注意法则辨析
乘法公式：直接计算、简便运算（如 $102 \times 98$ ）、化简求值
因式分解：提公因式与公式法综合，"分解不彻底"是主要扣分点
公式的几何背景：用图形面积解释乘法公式，杭州中考喜欢的数形结合
整体思想：把某个式子看作整体代入，如已知 $a+b$ 与 $ab$ 求 $a^2+b^2$

中考真题

真题浙江杭州中考（改编）

已知 $a + b = 5$ ， $ab = 6$ ，求 $a^2 + b^2$ 的值。

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由完全平方公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ，变形得

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13$

要点：不需要解出 $a$ 、 $b$ 各是多少，把 $a+b$ 和 $ab$ 当作整体代入公式变形即可，这是典型的整体思想。

视频讲解

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