🌱知了学堂
🔢 初中数学七年级下统计统计入门数据分析

数据的收集、整理与描述

全杭州人最爱哪条绿道？不必挨个去问。抽样调查加上合适的统计图，就能让海量数据开口说话。

难度：★★★★★

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

想知道全杭州市民最喜欢哪条绿道，难道要把一千多万人都问一遍？当然不用。统计学告诉我们：科学地抽取一部分样本，就能推断整体的情况——电视收视率、新闻里的民意调查、工厂的产品质检，用的都是这一招。

从收集数据、整理数据，到用统计图表描述数据，这条"数据流水线"是大数据时代的基本功。杭州作为"数字经济之城"，城市大脑每天处理的交通、天气、客流数据，起点正是这一章的知识。

知识讲解

全面调查与抽样调查

🔑

全面调查（普查）：对全体对象逐一调查，如全国人口普查。 抽样调查：只调查一部分个体，用样本估计总体，如收视率调查。 考察对象的全体叫总体，每一个考察对象叫个体，被抽取的那部分叫样本，样本中个体的数目叫样本容量。

选择依据：对象少、要求精确用普查；对象多、有破坏性（如灯泡寿命测试）或时效性强用抽样。抽样的关键是随机且有代表性，样本容量要适当。

数据的整理：频数与频率

  • 频数：每个对象出现的次数；频率 = 频数 ÷ 数据总数，所有频率之和等于 1。

整理数据常用频数分布表：确定组距、分组、统计各组频数。分组数一般在 5～12 组为宜。

数据的描述：四种统计图

统计图优点适用场景
条形图清楚显示每组的具体数量比较各项目多少
折线图清楚反映变化趋势气温、成绩随时间变化
扇形图清楚显示各部分占总体的百分比结构、占比分析
频数分布直方图显示连续数据在各区间的分布身高、成绩分段统计

扇形图中，某部分的圆心角 = 该部分百分比 ×360∘\times 360^\circ。直方图相邻长方形之间没有空隙，这是它与条形图的外观区别。

经典例题

例 判断调查方式

下列调查适合用普查还是抽样调查？①检测一批节能灯的使用寿命；②调查全班同学的睡眠时间；③了解钱塘江某江段的水质。

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①寿命检测具有破坏性，测完灯就废了，只能抽样调查；②全班人数少、易操作，适合普查；③江水无法"全部检测"，只能取水样，用抽样调查。

判断口诀：范围小要精确用普查；有破坏性、范围大、时效强用抽样。

例 扇形图求圆心角

某班 40 名同学选择课后服务课程：编程 16 人、球类 12 人、美术 8 人、书法 4 人。若绘制扇形统计图，求"编程"对应扇形的圆心角度数。

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编程的百分比 =1640=40%= \dfrac{16}{40} = 40\%，对应圆心角 =360∘×40%=144∘= 360^\circ \times 40\% = 144^\circ。

检验：四项圆心角 144∘+108∘+72∘+36∘=360∘144^\circ + 108^\circ + 72^\circ + 36^\circ = 360^\circ ✅。

例 频数分布与用样本估计总体

从某校七年级随机抽取 50 名学生测量每周运动时长（小时），整理得：[2,4)[2,4) 组 8 人，[4,6)[4,6) 组 20 人，[6,8)[6,8) 组 15 人，[8,10)[8,10) 组 7 人。求 [4,6)[4,6) 组的频率；若该校七年级共 600 人，估计每周运动不少于 6 小时的人数。

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[4,6)[4,6) 组的频率 =2050=0.4= \dfrac{20}{50} = 0.4。不少于 6 小时的样本频率 =15+750=0.44= \dfrac{15 + 7}{50} = 0.44，用样本估计总体：

600×0.44=264（人）600 \times 0.44 = 264\text{（人）}

估计约有 264 人每周运动不少于 6 小时。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点
  1. 总体与个体指认错误：调查"全校学生的视力"时，总体是"全校学生的视力"这组数据，个体是"每名学生的视力"，而不是学生本人。
  2. 样本容量带单位："样本容量为 50"是一个数，不能写成"50 名学生"。
  3. 抽样不随机：只在篮球场调查"最喜欢的运动"，样本失去代表性，结论不可信。
  4. 频率与频数混淆：频数是次数（整数），频率是比值（0 到 1 之间）。

生活中的应用

🌏生活中的应用
  • 城市大脑：杭州城市大脑实时统计路口车流量，本质是数据收集与频数统计。
  • 收视与销量：电视收视率、电商平台的畅销榜，都来自抽样统计。

生活应用题 · 西湖游客调查

小杭所在的研学小组周末在西湖景区随机采访了 200 名游客，统计"最喜欢的景点"：断桥 70 人、雷峰塔 50 人、苏堤 48 人、其他 32 人。若当日进入景区的游客约有 8 万人，估计最喜欢"断桥"的游客约有多少人？

分步解：

  1. 样本中喜欢断桥的频率 =70200=0.35= \dfrac{70}{200} = 0.35。
  2. 用样本估计总体：80000×0.35=2800080000 \times 0.35 = 28000（人），即约 2.8 万人。前提是采访地点、时间随机，样本才有代表性。

考点

🎯考点提示
  • 概念题：判断普查与抽样调查、指认总体/个体/样本/样本容量
  • 计算题：频数、频率、扇形圆心角、直方图组距与组数
  • 读图题：从条形图、扇形图、直方图中提取信息并计算
  • 估计题：用样本频率估计总体数量，是统计大题的固定收尾

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

为了解某校 800 名学生的课外阅读情况，随机抽取 40 名学生调查每周阅读时长，其中阅读时长不少于 4 小时的有 14 人。估计该校每周阅读不少于 4 小时的学生人数。

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样本频率 =1440=0.35= \dfrac{14}{40} = 0.35，用样本估计总体：800×0.35=280800 \times 0.35 = 280（人）。

估计该校约有 280 名学生每周阅读不少于 4 小时。

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

某班开展垃圾分类知识竞赛，把成绩分为 A、B、C、D 四个等级绘制扇形图，其中 A 等级占 25%，B 等级对应圆心角为 126∘126^\circ，C 等级有 12 人，D 等级占 10%。求全班人数与 B 等级人数。

✏️ 点击查看解答

B 等级占比 =126∘360∘=35%= \dfrac{126^\circ}{360^\circ} = 35\%，则 C 等级占比 =1−25%−35%−10%=30%= 1 - 25\% - 35\% - 10\% = 30\%。

全班人数 =12÷30%=40= 12 \div 30\% = 40（人），B 等级人数 =40×35%=14= 40 \times 35\% = 14（人）。思路：先用"部分 ÷ 占比"求出总数，再逐项还原。

视频讲解

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