不等式与不等式组

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

开车驶过杭州复兴大桥，路牌写着"限速 60"；隧道口标着"限高 4.5m"；商场促销"满 200 减 30"。这些规则的共同点是：它们描述的不是"等于"，而是"不超过""不低于"——数学上就是不等式。

方程刻画"恰好相等"的瞬间，不等式刻画"允许范围"的区间。现实世界里，范围往往比等式更常见：预算有限、时间有限、载重有限……学会解不等式，就是学会用数学处理"约束条件"。

知识讲解

不等式及其解集

用不等号（ $>$ 、 $<$ 、 $\ge$ 、 $\le$ 、 $\ne$ ）连接的式子叫不等式。使不等式成立的未知数的值叫不等式的解；所有解组成的集合叫解集，如 $x > 3$ 表示大于 3 的一切数都是解。

解集可以在数轴上表示：大于向右画，小于向左画；含等号用实心点，不含等号用空心圈。

不等式的三条基本性质

🔑

性质 1：两边同加（减）同一个数，不等号方向不变。性质 2：两边同乘（除）同一个正数，不等号方向不变。性质 3：两边同乘（除）同一个负数，不等号方向改变！

性质 3 是整章的命门：由 $-2x > 6$ 得 $x < -3$ ，除以 $-2$ 时必须变号。

解一元一次不等式

步骤与解一元一次方程几乎相同：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1。唯一的区别：最后一步若两边同除以负数，要翻转不等号。

解一元一次不等式组

分别解出每个不等式，再取所有解集的公共部分。口诀：

🔑

同大取大，同小取小；大小小大中间找，大大小小无处找（无解）。例如 $x > 2$ 且 $x > 5$ 取 $x > 5$ ； $x > 5$ 且 $x < 2$ 无解。

经典例题

例解不等式（注意变号）

解不等式： $3 - 2x \ge 7$ ，并把解集在数轴上表示出来。

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移项： $-2x \ge 4$ ，两边同除以 $-2$ （负数，变号）得 $x \le -2$ 。数轴上在 $-2$ 处画实心点（含等号），向左画折线。

例解不等式组

解不等式组： $\begin{cases} 2x + 1 > 3 \\ \dfrac{x+2}{3} \le 2 \end{cases}$

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解第一个： $2x > 2$ ， $x > 1$ ；解第二个： $x + 2 \le 6$ ， $x \le 4$ 。取公共部分（"大小小大中间找"）： $1 < x \le 4$ 。

注意：端点 1 取不到、4 取得到，数轴上左空心、右实心。

例不等式的整数解

求不等式组 $\begin{cases} x - 1 \ge -2 \\ 3x - 2 < 4 \end{cases}$ 的所有整数解。

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解第一个： $x \ge -1$ ；解第二个： $3x < 6$ ， $x < 2$ 。解集为 $-1 \le x < 2$ 。

其中的整数有 $-1, 0, 1$ ，共 3 个。易错： $-1$ 含等号取得到， $2$ 不含等号取不到，端点逐个核对。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

乘除负数忘变号：这是全章最高频错误，凡是系数化 1 时除以负数，先在心里默念"变号"。
数轴表示画反：实心与空心、向左与向右，四种组合别搞混；含等号才用实心点。
实际问题解集取整错误：如"最多买 $x$ 本"解得 $x \le 7.5$ ，应取 $x = 7$ ；"至少需要 $x$ 辆车"解得 $x \ge 6.2$ ，应取 $x = 7$ ，方向相反。
"不超过""不低于"翻译错：不超过是 $\le$ ，不低于是 $\ge$ ，都含等号。

生活中的应用

🌏生活中的应用

交通限行：限速、限高、限重，本质都是"变量 $\le$ 某个值"的不等式。
预算采购：班费有限，既要买齐奖品又不能超支，就是不等式组的"公共部分"。

生活应用题 · 亚运纪念品采购

班级要用不超过 500 元班费购买亚运会吉祥物钥匙扣发给同学。每个钥匙扣 12 元，另需一次性支付 20 元运费。最多能买多少个？

分步解：

设买 $x$ 个，总花费不超过 500 元： $12x + 20 \le 500$ 。
移项： $12x \le 480$ ，两边除以 12（正数不变号）： $x \le 40$ 。 $x$ 取正整数，最多能买 40 个，恰好 $12 \times 40 + 20 = 500$ 元，不超支 ✅。

考点

🎯考点提示

基础：解一元一次不等式（组），在数轴上表示解集
整数解：求解集内的整数解个数或它们的和
含参题：已知解集反求参数范围，常与"恰有 3 个整数解"结合，是压轴热点
应用题：方案选择、最值决策（"最多买几个""至少几辆车"）

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

解不等式组 $\begin{cases} 3x > x - 4 \\ \dfrac{x+1}{2} < 2 \end{cases}$ ，并写出它的所有整数解。

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解第一个： $2x > -4$ ， $x > -2$ ；解第二个： $x + 1 < 4$ ， $x < 3$ 。解集为 $-2 < x < 3$ ，整数解为 $-1, 0, 1, 2$ 。提醒：两个端点都不含等号， $-2$ 和 $3$ 都取不到。

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

某超市推出优惠：一次购物超过 100 元的部分打八折。小杭妈妈带 260 元去购物，最多能购买标价总额为多少元的商品？

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设标价总额为 $x$ 元（ $x > 100$ ），实付 $= 100 + 0.8(x - 100)$ ，要求不超过 260 元：

$100 + 0.8(x - 100) \le 260，\quad 0.8(x - 100) \le 160，\quad x \le 300$

最多能购买标价总额 300 元的商品。检验： $100 + 0.8 \times 200 = 260$ 元 ✅。

视频讲解

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