知识背景
我国古代名著《孙子算经》里有一道流传千年的趣题——鸡兔同笼："今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？"古人发明了脑洞大开的"抬脚法"：让所有动物抬起两只脚，地上还剩 只脚，全是兔子的，所以兔有 12 只、鸡有 23 只。
巧法虽妙，却不通用。设两个未知数、列两个方程，就得到二元一次方程组——它不靠灵光一闪，而是提供了一条人人可走的大路。"设未知数、找等量关系"的方程思想，正是代数的核心力量。
知识讲解
二元一次方程与方程组
含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，叫做二元一次方程；两个二元一次方程合在一起，就组成二元一次方程组。使方程组中每个方程都成立的一组未知数的值，叫做方程组的解。
例如 有无数组解，但与 联立成方程组后，解通常就唯一了。
代入消元法
基本思路：消元——把"二元"化为"一元"。①从一个方程中，把一个未知数用另一个未知数表示出来（如由 得 ）；②代入另一个方程，化为一元一次方程，求出一个未知数；③回代，求出另一个未知数。当某个未知数的系数是 1 或 时，代入法最方便。
加减消元法
当两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数时，把两个方程相加或相减，直接消去这个未知数。若系数不等，可先给方程两边同乘适当的数"制造"相同系数。
代入法与加减法殊途同归，核心都是消元：同系数相减、反系数相加；系数简单用代入，系数整齐用加减。
用方程组解应用题的一般步骤：审（找等量关系）→ 设（两个未知数）→ 列（两个方程）→ 解（消元求解）→ 验（是否符合实际）→ 答。
经典例题
解方程组：
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第一个方程已把 用 表示，直接代入第二个方程：
回代：。所以方程组的解为 。检验： ✅。
解方程组：
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两个方程中 的系数相同，两式相减消去 ：
代入 得 ，。所以解为 。易错：相减时第二个方程的每一项都要变号，，别算成 。
笼中鸡兔共 35 个头、94 只脚，求鸡、兔各几只。
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设鸡 只、兔 只。头的总数与脚的总数是两个等量关系：
第一式两边乘 2 得 ，与第二式相减：，，回代得 。所以鸡 23 只、兔 12 只——与古人的"抬脚法"结果一致，但方程组的方法适用于一切同类问题。
难点与易错点
- 加减消元忘变号：两式相减时，减数方程的每一项都要变号，这是本章第一大失分点。
- 代入后漏乘：把 代入 时要写成 ，括号不能丢。
- 只求出一个未知数就收工：方程组的解是一对值，必须回代求出另一个未知数，结果用大括号合写。
- 应用题不检验：解出"人数为 "之类不合实际的结果，要回头检查列式。
生活中的应用
- 购物结算：两种商品各买若干件、知道两次的总价，就能列方程组求单价。
- 配料与行程：奶茶店按比例调配原料，顺流逆流、相遇追及，都是方程组模型。
生活应用题 · 西湖景区门票
周末小杭一家去灵隐飞来峰景区。第一批 2 名成人和 1 名学生共付 115 元，第二批 1 名成人和 3 名学生共付 120 元。求成人票和学生票的单价。
分步解：
- 设成人票 元、学生票 元，由两批付款列方程组：
- 第二式两边乘 2 得 ，与第一式相减：，。
- 回代第一式：，。检验： ✅， ✅。成人票 45 元，学生票 25 元。
考点
- 基础：判断二元一次方程（组）及其解、解简单方程组
- 计算题：代入消元与加减消元，中考必考的送分题，务必稳拿
- 含参题：已知解的特征（如 ）求参数的值
- 应用题：票价、购物、行程、配套问题，列方程组求解
中考真题
解方程组：
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两方程中 的系数互为相反数，两式相加：，。代入第一式：，。所以解为 。
某学校组织学生赴亚运场馆研学，若每辆车坐 45 人，则有 15 人没有座位；若每辆车坐 50 人，则恰好空出一辆车。求车辆数与学生人数。
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设有 辆车、学生 人：
由两式得 ，解得 ，，即 13 辆车、600 名学生。检验： ✅，恰好空出一辆车。