实数（平方根、立方根）

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

两千五百年前，古希腊毕达哥拉斯学派坚信"万物皆数"——一切数都能写成两个整数之比。可学派成员希帕索斯发现：边长为 1 的正方形，对角线长 $\sqrt{2}$ 无法写成任何分数！传说他因此被扔进了大海，这就是数学史上的"第一次数学危机"。

$\sqrt{2} = 1.41421356\cdots$ ，小数点后无限不循环，这样的数叫无理数。有理数与无理数合在一起，构成了实数——数轴上的每一个点，从此都有了自己的数。

知识讲解

平方根与算术平方根

🔑

如果 $x^2 = a$ （ $a \ge 0$ ），那么 $x$ 叫做 $a$ 的平方根，记作 $x = \pm\sqrt{a}$ 。其中非负的那个 $\sqrt{a}$ 叫做 $a$ 的算术平方根。

正数有两个平方根，互为相反数：如 9 的平方根是 $\pm 3$ ，算术平方根是 $3$ 。
0 的平方根是 0；负数没有平方根（任何数的平方都不为负）。
双重非负性： $\sqrt{a}$ 中被开方数 $a \ge 0$ ，且结果 $\sqrt{a} \ge 0$ 。

立方根

🔑

如果 $x^3 = a$ ，那么 $x$ 叫做 $a$ 的立方根，记作 $x = \sqrt[3]{a}$ 。任何实数都有且只有一个立方根，且符号与原数相同。

例如 $\sqrt[3]{8} = 2$ ， $\sqrt[3]{-27} = -3$ ， $\sqrt[3]{0} = 0$ 。负数可以开立方，这是与平方根最大的不同。

无理数与实数

无理数：无限不循环小数。常见三类：开方开不尽的数（ $\sqrt{2}$ 、 $\sqrt[3]{5}$ ）、含 $\pi$ 的数（ $\pi$ 、 $2\pi$ ）、人为构造的数（如 $0.1010010001\cdots$ ）。
实数 = 有理数 + 无理数。实数与数轴上的点一一对应；相反数、绝对值、大小比较等规则对实数同样适用。

估算无理数的大小

夹逼法：因为 $2^2 = 4 < 7 < 9 = 3^2$ ，所以 $2 < \sqrt{7} < 3$ ；再比较 $2.6^2 = 6.76$ 与 $2.7^2 = 7.29$ ，可知 $\sqrt{7} \approx 2.6$ 。

经典例题

例求平方根与算术平方根

求 64 的平方根、算术平方根，以及 $\sqrt{64}$ 的平方根。

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64 的平方根是 $\pm\sqrt{64} = \pm 8$ ；算术平方根是 $8$ 。又 $\sqrt{64} = 8$ ，所以 $\sqrt{64}$ 的平方根即 8 的平方根，为 $\pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$ 。

易错：第三问要先算出 $\sqrt{64} = 8$ ，再对 8 开平方，层层剥开，别想当然写 $\pm 8$ 。

例利用非负性求值

已知 $\sqrt{a-2} + |b+3| = 0$ ，求 $a + b$ 的值。

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$\sqrt{a-2} \ge 0$ ， $|b+3| \ge 0$ ，两个非负数之和为 0，则每一项都为 0： $a - 2 = 0$ 且 $b + 3 = 0$ ，

解得 $a = 2$ ， $b = -3$ ，所以 $a + b = 2 + (-3) = -1$ 。

例无理数的估算

已知 $\sqrt{10}$ 的整数部分为 $a$ ，小数部分为 $b$ ，求 $a - b$ 的值。

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因为 $3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2$ ，所以 $3 < \sqrt{10} < 4$ ，整数部分 $a = 3$ ；小数部分 = 原数 − 整数部分，即 $b = \sqrt{10} - 3$ 。

$a - b = 3 - (\sqrt{10} - 3) = 6 - \sqrt{10}$

要点：无理数的小数部分不能写成具体小数，只能用"原数减整数部分"表示。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

平方根与算术平方根混淆："9 的平方根"是 $\pm 3$ ，" $\sqrt{9}$ "只表示算术平方根 3，一字之差结果不同。
认为负数有平方根： $-4$ 没有平方根，但 $-8$ 有立方根 $\sqrt[3]{-8} = -2$ ，开平方与开立方规则不同。
误判无理数： $\sqrt{4} = 2$ 是有理数！带根号不一定是无理数； $\frac{22}{7}$ 是分数，是有理数，不是 $\pi$ 。
小数部分表示错误： $\sqrt{10}$ 的小数部分是 $\sqrt{10} - 3$ ，不是 $0.16$ 之类的近似值。

生活中的应用

🌏生活中的应用

正方形场地设计：已知面积求边长就是开平方；已知正方体体积求棱长就是开立方。
A4 纸的秘密：A 系列纸张长宽之比恰为 $\sqrt{2} : 1$ ，对折后比例不变，这是印刷业的国际标准。

生活应用题 · 文化广场的正方形花坛

杭州某小区文化广场要建一个面积为 32 平方米的正方形花坛，并沿四周围一圈装饰灯带。请估算需要灯带多少米（结果保留整数， $\sqrt{2} \approx 1.414$ ）。

分步解：

设边长为 $x$ 米，则 $x^2 = 32$ ， $x = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ （边长取正值）。
周长 $= 4x = 16\sqrt{2} \approx 16 \times 1.414 = 22.624$ （米）。
灯带约需 23 米（工程用料宜进一取整，防止不够）。

考点

🎯考点提示

基础：求平方根、算术平方根、立方根，注意" $\pm$ "的取舍
判断题：识别无理数（警惕 $\sqrt{4}$ 、 $\frac{22}{7}$ 这类"伪装者"）
非负性： $\sqrt{a} + |b| = 0$ 型求值，是七年级下经典题型
估算题：确定 $\sqrt{n}$ 在哪两个整数之间、求整数部分与小数部分

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

估计 $\sqrt{29}$ 的值应在哪两个相邻整数之间？

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找出与 29 相邻的完全平方数： $25 < 29 < 36$ ，即 $5^2 < 29 < 6^2$ ，所以 $5 < \sqrt{29} < 6$ ， $\sqrt{29}$ 在 5 和 6 之间。

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

已知 $a$ 、 $b$ 满足 $\sqrt{a-3} + |b+1| = 0$ ，求 $a^b$ 的值。

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两个非负数之和为 0，则各自为 0： $a = 3$ ， $b = -1$ 。

所以 $a^b = 3^{-1} = \dfrac{1}{3}$ 。提醒：负整数指数表示倒数，别算成 $-3$ 。

视频讲解

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