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🔢 初中数学七年级上数与式代数核心中考基础

代数式与整式的加减

用一个字母代替千千万万个数——代数式是数学的"通用语言"。学会合并同类项和去括号，复杂的式子瞬间变简洁。

难度：★★★★★

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

坐杭州地铁，起步价 2 元；假设之后每多坐一段加 1 元，坐 nn 段以后要花多少钱？我们不必对 n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots 一个个算，而是直接写出 2+n2 + n——一个式子概括了所有情况。

用字母表示数，是从算术跨入代数的关键一步。法国数学家韦达在 16 世纪系统地引入字母符号后，数学从"算具体的数"升级为"研究一般的规律"，威力大增。

字母和数通过运算符号连接起来，就得到代数式；其中最基本、最常用的一类叫整式。这一讲我们学习如何书写代数式、求代数式的值，以及整式加减的两大核心技能：合并同类项与去括号。它们是今后解方程、学函数的必备基本功。

知识讲解

代数式与书写规范

🔑

用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子叫代数式，如 2a+12a + 1、st\frac{s}{t}、x2x^2。单独的一个数或一个字母也是代数式。

书写规范：数字与字母相乘省略乘号且数字在前，如 3a3a（不写 a3a3 或 3×a3 \times a）；除法写成分数形式，如 st\frac{s}{t}；带分数与字母相乘要化成假分数，如 32a\frac{3}{2}a（不写 112a1\frac{1}{2}a）。

单项式、多项式与整式

🔑

数与字母的积（如 3x3x、−25ab2-\frac{2}{5}ab^2、单独的数或字母）叫单项式；几个单项式的和叫多项式；单项式与多项式统称整式。

  • 单项式中的数字因数叫系数，所有字母的指数之和叫次数。如 −25ab2-\frac{2}{5}ab^2 的系数是 −25-\frac{2}{5}，次数是 1+2=31 + 2 = 3。
  • 多项式里每个单项式叫项，次数最高的项的次数就是多项式的次数。如 x2−3x+2x^2 - 3x + 2 是二次三项式。

合并同类项

🔑

所含字母相同、且相同字母的指数也相同的项叫同类项（所有常数项也是同类项）。合并同类项：把系数相加，字母和字母的指数不变。

例如 3x2y3x^2y 与 −5x2y-5x^2y 是同类项：3x2y+(−5x2y)=−2x2y3x^2y + (-5x^2y) = -2x^2y。而 3x2y3x^2y 与 3xy23xy^2 字母指数不同，不是同类项，不能合并。

去括号法则

🔑

括号前是"++"号，去掉括号后各项不变号；括号前是"−-"号，去掉括号后各项都变号：a+(b−c)=a+b−ca + (b - c) = a + b - c；a−(b−c)=a−b+ca - (b - c) = a - b + c。

整式加减的一般步骤：去括号 → 找同类项 → 合并同类项。

经典例题

例 列代数式并求值

某种笔记本每本 aa 元，买 5 本打九折。用代数式表示实付金额，并求当 a=4a = 4 时的实付金额。

✏️ 点击查看解答

原价 5 本共 5a5a 元，打九折即乘 0.90.9：实付 =0.9×5a=4.5a= 0.9 \times 5a = 4.5a（元）。

当 a=4a = 4 时，代入：4.5×4=184.5 \times 4 = 18（元）。

规范：求值时先写"当 a=4a = 4 时"，再代入计算，代入的数是负数或分数时要加括号。

例 去括号化简求值

先化简，再求值：2(a2−3ab)−3(a2−2ab)2(a^2 - 3ab) - 3(a^2 - 2ab)，其中 a=−1a = -1，b=2b = 2。

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去括号（注意第二个括号前是 −3-3，每项都要变号）：

2a2−6ab−3a2+6ab2a^2 - 6ab - 3a^2 + 6ab

合并同类项：2a2−3a2=−a22a^2 - 3a^2 = -a^2，−6ab+6ab=0-6ab + 6ab = 0，所以原式 =−a2= -a^2。

代入 a=−1a = -1：−(−1)2=−1-(-1)^2 = -1。

技巧：先化简再代入，bb 被消掉了，计算量大大减少——这正是化简的意义。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点
  1. 去括号漏变号：括号前是负号时，括号里每一项都要变号，最常见的错误是只变第一项。
  2. 误判同类项：3x2y3x^2y 与 3xy23xy^2 不是同类项；判断只看字母及其指数，与系数无关，与字母顺序也无关（abab 与 baba 是同类项）。
  3. 合并时把指数相加：3x+2x=5x3x + 2x = 5x，不是 5x25x^2！合并只加系数，字母指数不变。
  4. 系数与次数认错：−2ab25-\frac{2ab^2}{5} 的系数是 −25-\frac{2}{5}（负号是系数的一部分）；πr2\pi r^2 的系数是 π\pi，次数是 2（π\pi 是数不是字母）。
  5. 代入负数不加括号：当 a=−1a = -1 时求 a2a^2，要写 (−1)2=1(-1)^2 = 1，写成 −12-1^2 就错成 −1-1 了。

生活中的应用

🌏生活中的应用
  • 打车计费：起步价 11 元（3 公里内），之后每公里 2.5 元，行驶 xx 公里（x>3x > 3）的车费就是 11+2.5(x−3)11 + 2.5(x - 3) 元。
  • 手机套餐：月租 mm 元含固定流量，超出部分每 GB 收 kk 元，超 tt GB 的月账单是 m+ktm + kt 元。
  • 图形周长：长为 aa、宽为 bb 的长方形花坛，周长是 2(a+b)2(a + b)——公式本身就是代数式。
  • 购物折扣：满减、打折叠加时，用代数式表示总价，比较哪种方案更划算。

生活应用题 · 西湖边租自行车

小杭和同学在西湖边租公共自行车：每辆车前 1 小时收费 2 元，之后每小时加收 3 元。若租 1 辆车骑行 tt 小时（tt 为大于 1 的整数），写出费用的代数式，并求骑 4 小时的费用。

分步解：

  1. 前 1 小时固定 2 元；超出部分为 (t−1)(t - 1) 小时，费用 3(t−1)3(t - 1) 元。
  2. 总费用 =2+3(t−1)= 2 + 3(t - 1)，去括号化简：2+3t−3=3t−12 + 3t - 3 = 3t - 1（元）。
  3. 当 t=4t = 4 时：3×4−1=113 \times 4 - 1 = 11（元）。
  4. 骑 4 小时需 11 元。化简后的式子 3t−13t - 1 代入更快，这就是整式加减的实用价值。

考点

🎯考点提示
  • 列代数式：根据实际情境（计费、行程、图形）写出代数式，注意书写规范
  • 概念题：单项式的系数与次数、多项式的项与次数、同类项的判断
  • 化简：合并同类项、去括号（中考基础计算题必考）
  • 化简求值：先化简再代入，负数代入加括号
  • 规律探究：用代数式表示图形或数列的第 nn 项规律（浙江中考常见题型）

中考真题

真题2022 · 浙江杭州中考（改编）

化简：4a−(a−3b)4a - (a - 3b)，并在 a=1a = 1，b=13b = \frac{1}{3} 时求值。

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去括号（括号前是负号，每项变号）：

4a−a+3b=3a+3b4a - a + 3b = 3a + 3b

代入 a=1a = 1，b=13b = \frac{1}{3}：

3×1+3×13=3+1=43 \times 1 + 3 \times \frac{1}{3} = 3 + 1 = 4

易错：去括号时 −3b-3b 忘记变成 +3b+3b，会得到错误的 3a−3b3a - 3b。

视频讲解

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