有理数的运算 · 知了学堂

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

小学的加减乘除只在正数和 0 之间进行，现在负数加入了队伍： $(-3) + 5$ 等于多少？ $(-2) \times (-4)$ 为什么是正的？

其实生活早就给出了答案。以记账为例：先支出 3 元（ $-3$ ），再收入 5 元（ $+5$ ），最终多了 2 元，所以 $(-3) + 5 = 2$ 。再看气温：如果气温每小时下降 2℃（记作 $-2$ ），那么 4 小时前（记作 $-4$ ）的气温比现在高 8℃，这就是 $(-2) \times (-4) = 8$ ——负负得正并不神秘。

有理数运算是整个初中代数的地基：以后解方程、化简整式、研究函数，每一步都要用到它。先定符号、再算绝对值，是贯穿本讲的口诀。

知识讲解

有理数的加法与减法

🔑

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值。减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 $a - b = a + (-b)$ 。

例如： $(-3) + (-5) = -8$ （同号相加）； $(-3) + 7 = 4$ （异号相加，取 7 的符号）； $2 - 5 = 2 + (-5) = -3$ （减法化加法）。互为相反数的两数相加得 0。

有理数的乘法与除法

🔑

两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（相除）。任何数与 0 相乘都得 0；0 不能作除数。除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数： $a \div b = a \times \frac{1}{b}$ （ $b \neq 0$ ）。

多个不为 0 的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定：负因数有奇数个，积为负；有偶数个，积为正。

有理数的乘方

🔑

求 $n$ 个相同因数的积的运算叫乘方： $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{ 个}}$ 。负数的偶次幂为正，奇次幂为负；注意 $(-2)^2 = 4$ ，而 $-2^2 = -(2^2) = -4$ ，两者完全不同。

混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号里的（先小括号，再中括号，后大括号）。灵活运用运算律（加法交换律、结合律，乘法分配律）可以大大简化计算：

$\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) \times 6 = \frac{1}{2} \times 6 - \frac{1}{3} \times 6 = 3 - 2 = 1$

经典例题

例加减混合运算

计算： $(-8) + 10 - (-6) - 12$ 。

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先把减法统一成加法：

$(-8) + 10 + 6 + (-12)$

把正数、负数分别结合：正数和 $= 10 + 6 = 16$ ，负数和 $= (-8) + (-12) = -20$ 。

$16 + (-20) = -4$

技巧：同号结合再相加，比从左到右硬算更不容易出错。

例乘除与乘方（易错）

计算： $-2^2 \times (-3) + (-4)^2 \div (-8)$ 。

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先算乘方： $-2^2 = -4$ （注意没有括号，负号不参与平方）， $(-4)^2 = 16$ 。

再算乘除： $-4 \times (-3) = 12$ ； $16 \div (-8) = -2$ 。

最后相加： $12 + (-2) = 10$ 。

关键： $-2^2$ 与 $(-2)^2$ 的区别是本题最大陷阱，前者是 $-4$ ，后者是 $4$ 。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

符号错误：异号相加取"绝对值大的"那个数的符号，不是随便取；每一步先定符号再算数值。
$-2^2$ 与 $(-2)^2$ 混淆：没有括号时，乘方优先于取负， $-2^2 = -4$ 。
减负号漏变号： $5 - (-3)$ 要变成 $5 + 3 = 8$ ，忘记变号会算成 2。
运算顺序颠倒： $6 \div 2 \times 3$ 应从左到右算得 9，不能先算 $2 \times 3$ 。同级运算按从左到右顺序。
0 作除数： $a \div 0$ 没有意义；而 $0 \div a = 0$ （ $a \neq 0$ ），两者别搞混。

生活中的应用

🌏生活中的应用

记账对账：一个月的收入、支出用正负数相加，结果的符号直接告诉你是结余还是超支。
电梯升降：从 $-2$ 层上到 $12$ 层，按加减法一算就知道电梯运行了 14 层。
平均气温：气象台把一周每天的气温（含零下）相加再除以 7，就是有理数的加法与除法。
股票涨跌：连续几天的涨跌幅相加，正负抵消后看总的盈亏。

生活应用题 · 一周气温的平均值

某年一月，杭州连续 5 天的最低气温分别为 $-3℃$ 、 $-1℃$ 、 $0℃$ 、 $2℃$ 、 $-3℃$ 。求这 5 天最低气温的平均值。

分步解：

求总和： $(-3) + (-1) + 0 + 2 + (-3)$ 。
负数结合： $(-3) + (-1) + (-3) = -7$ ；再加正数： $-7 + 2 = -5$ 。
求平均： $(-5) \div 5 = -1$ （℃）。
这 5 天最低气温的平均值是 $-1℃$ ——符号告诉我们平均而言仍在冰点以下。

考点

🎯考点提示

基础计算：有理数加减乘除乘方的混合运算（中考必考的送分题，也是失分重灾区）
符号判断：多个有理数相乘时积的符号、负数的奇偶次幂
简便运算：运算律的灵活运用，尤其是分配律
实际应用：平均气温、收支结余、水位变化等应用题
概念辨析： $-a^2$ 与 $(-a)^2$ 、倒数与相反数

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

计算 $(-6) \div 2$ 的结果是（　）。A. $-3$ 　B. $3$ 　C. $-12$ 　D. $12$

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异号相除得负，绝对值相除： $6 \div 2 = 3$ ，所以 $(-6) \div 2 = -3$ 。选 A。

先定符号（一负一正，结果为负），再算绝对值，两步走就不会错。

视频讲解

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