有理数（正负数、数轴、绝对值）

知识背景

💡知识背景 · 从一个真实的问题说起

打开天气预报：某年一月的杭州，白天最高气温 5℃，夜里最低气温零下 2℃。"零下 2℃"怎么用数表示？如果只有小学学过的 0、1、2、3……这些数，还真写不出来。

其实早在两千多年前，我国古代数学名著《九章算术》就提出了正负数的概念：收入记为正、支出记为负，用红色算筹表示正数、黑色算筹表示负数。中国是世界上最早使用负数的国家，比欧洲早了一千多年。

有了负数，"零下 2℃"就可以记作 $-2℃$ ，"海拔低于海平面 155 米"记作 $-155$ 米。正数和负数，就是为了表示一对"相反意义的量"而生的。这一讲，我们把小学的数扩充成"有理数"大家庭，并认识两件强力工具：数轴与绝对值。

知识讲解

正数与负数

🔑

像 $3$ 、 $1.8$ 、 $\frac{2}{5}$ 这样大于 0 的数叫正数；在正数前面加上" $-$ "号的数，如 $-3$ 、 $-1.8$ 、 $-\frac{2}{5}$ ，叫负数。0 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。

用正负数表示相反意义的量时，先规定"正"的方向：若规定收入为正，则收入 200 元记作 $+200$ 元，支出 80 元记作 $-80$ 元；若规定上升为正，则下降 3 米记作 $-3$ 米。

有理数的分类

🔑

整数（正整数、0、负整数）与分数（正分数、负分数）统称为有理数。有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们也是有理数。

分类方式	具体内容
按定义分	整数（正整数、0、负整数）、分数（正分数、负分数）
按正负分	正有理数、0、负有理数

注意： $\pi$ 是无限不循环小数，它不是有理数（以后会学到它属于无理数）。

数轴

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规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。数轴上，右边的点表示的数总比左边的大。

数轴三要素缺一不可。利用数轴比较大小非常直观： $-3 < -1 < 0 < 2$ ，负数都在 0 的左边，所以负数都小于 0，也小于一切正数。

相反数与绝对值

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只有符号不同的两个数互为相反数，如 $5$ 与 $-5$ ，它们在数轴上位于原点两侧且到原点距离相等。数轴上表示数 $a$ 的点到原点的距离叫做 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$ 。

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即

$|a| = \begin{cases} a, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ -a, & a < 0 \end{cases}$

因为距离不可能是负的，所以 $|a| \ge 0$ ，绝对值具有非负性。比较两个负数的大小：绝对值大的反而小，如 $|-5| > |-3|$ ，所以 $-5 < -3$ 。

经典例题

例用正负数表示相反意义的量

规定水位比警戒水位高为正。钱塘江某站警戒水位为 6.4 米，某日实测水位比警戒水位低 0.8 米，应记作多少？若记作 $+0.5$ 米，实际水位是多少米？

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低 0.8 米与"高"相反，记作 $-0.8$ 米。

记作 $+0.5$ 米表示比警戒水位高 0.5 米，实际水位 $= 6.4 + 0.5 = 6.9$ （米）。

关键：先看清题目规定的"正"方向，反向的量就加负号。

例绝对值方程（易错）

已知 $|x| = 4$ ，求 $x$ 的值；再求满足 $|a| = -2$ 的 $a$ 。

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到原点距离为 4 的点有两个：原点左、右各一个，所以 $x = 4$ 或 $x = -4$ ，别漏掉负的那一个。

因为绝对值表示距离， $|a| \ge 0$ 恒成立，不可能等于 $-2$ ，所以满足 $|a| = -2$ 的 $a$ 不存在。

难点与易错点

⚠️难点 · 易错点

把 0 归入正数或负数：0 既不是正数也不是负数，但 0 是整数、是有理数。
认为 $-a$ 一定是负数： $-a$ 表示 $a$ 的相反数，当 $a = -3$ 时 $-a = 3$ 是正数。字母的符号要分类讨论。
比较负数大小方向搞反： $-5$ 和 $-3$ ，误以为 5 大所以 $-5$ 大。记住负数绝对值大的反而小。
$|x| = a$ 漏解：当 $a > 0$ 时有两个解 $x = \pm a$ ，只写正的会丢一半分。
数轴三要素画丢：忘记标原点、正方向箭头或单位长度，画图题会被扣分。

生活中的应用

🌏生活中的应用

天气预报：杭州冬季气温常在 $-3℃$ 到 $8℃$ 之间波动，正负数一目了然。
电梯楼层：商场地下车库标 $-1$ 层、 $-2$ 层，地面以上是 $1$ 层、 $2$ 层。
记账：手机账单里收入显示 $+$ 、支出显示 $-$ ，月底汇总就是有理数运算。
水位监测：钱塘江水位高于或低于警戒线，用正负数记录，防汛部门一看便知。

生活应用题 · 地铁站的温差

某年一月某日，杭州地铁 1 号线湘湖站地面气温为 $-2℃$ ，站厅内气温为 $16℃$ 。站厅比地面高多少摄氏度？

分步解：

求"高多少"就是求两数的差距，即从 $-2$ 到 $16$ 在数轴上的距离。
从 $-2$ 走到 $0$ 要 2 个单位，从 $0$ 走到 $16$ 要 16 个单位，共 $2 + 16 = 18$ 个单位。
站厅内比地面气温高 18℃。冬天进地铁站觉得暖和，就是这 18℃ 的功劳。

考点

🎯考点提示

基础：用正负数表示相反意义的量（中考选择题第 1 题常客）
概念：有理数的分类、0 的特殊地位
数轴：数形结合比较大小、求两点间距离
绝对值：化简 $|a|$ 、利用非负性求值、 $|x|=a$ 型方程的分类
相反数与绝对值的综合判断（如"绝对值等于本身的数是什么数"）

中考真题

真题2023 · 浙江杭州中考（改编）

杭州某日最高气温为 $8℃$ ，最低气温为 $-2℃$ ，则该日的温差是多少摄氏度？

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温差 $=$ 最高气温 $-$ 最低气温 $= 8 - (-2) = 8 + 2 = 10$ （℃）。

也可以在数轴上看：从 $-2$ 到 $8$ 共跨越 10 个单位长度。答案：温差为 10℃。

视频讲解

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